小升初典型奥数：行程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

行程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 行程问题涉及的是物体（如车辆、人、飞机等）在特定时间内移动的距离或速度等关系。解决这类问题通常需要用到速度、时间、距离之间的基本关系公式，即速度=距离÷时间。 以下是一些常见的行程问题类型及其解决方法： 1. 基本问题： 已知速度和时间，求距离。 已知距离和时间，求速度。 已知距离和速度，求时间。 解决方法：直接应用速度、时间、距离之间的公式。 2. 相遇问题： 两个物体从两个不同地点出发，在某个时间相遇。 解决方法：通常需要将两个物体的移动距离相加，等于两地之间的距离。 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 3. 追及问题： 一个物体从后面追赶另一个物体，在某个时间追上。 解决方法：需要考虑两者之间的初始距离和速度差。 追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 4. 环形跑道问题： 物体在环形跑道上运动，可能涉及多次相遇或追及。 解决方法：需要考虑跑道的长度和物体的速度。 5. 火车过桥问题： 火车通过桥梁或隧道，需要考虑火车的长度和速度。 解决方法：火车完全通过桥梁或隧道的时间需要加上火车自身的长度。 6. 流水行船问题： 船在静水和流水中的速度不同，需要考虑水流速度的影响。 解决方法：通常需要将船的速度和水流速度进行合成或分解。 船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速＝（顺水速度﹣逆水速度）÷2． 在解决行程问题时，关键是要准确理解题目中的信息，并灵活运用速度、时间、距离之间的基本关系。同时，注意单位的统一和换算也是非常重要的。 第二部分 典型例题 例题1：甲地和乙地相距千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行千米，兵兵每小时行千米，当平平走了千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？ 【答案】6千米 【详解】平平走了千米后，兵兵才出发，这千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走(千米)，要求兵兵几小时可以追上千米，也就是求千米里包含着几个千米，用(小时)．因为甲地和乙地相距千米，兵兵每小时行千米，小时走了(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有(千米) 例题2：轮船从城到城需行天，而从城到城需行天．从城放一个无动力的木筏，它漂到城需要多少天？ 【答案】24天 【详解】轮船顺流用天，逆流用天，说明轮船在静水中行天，等于水流天 所以船在静水中的速度是水流速度的倍 所以轮船顺流行天的路程等于水流天的路程 所以无动力木筏从城漂到城需要天． 例题3：一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向而行，公共汽车每小时行千米，小轿车每小时行千米，问几小时后两车相距千米？ 【答案】4小时或6小时 【详解】两车在相距千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距千米，这时两车共行的路程应为（）千米．即(小时)．需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距千米．这时两车共行的路程为千米，即（小时)． 例题4：自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级 台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级台阶？ 【答案】150级 【分析】上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100-90=10（级），多用了6-5=1（分），说明电梯1分钟走10级．由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（级）． 【详解】自动扶梯每分钟走：（20×5-15×6）÷（6-5） =10÷1 =10（级） 自动扶梯共有：（20+10）×5=150（级） 答：扶梯共有150级． 第三部分 高频真题 1．每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？ 2．甲、乙两站相距360千米，一列快车和一列慢车分别从两站同时相对而行，3.6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是3∶2，慢车每小时行多少千米？快车行完全程要几小时？ 3．A、B两地相距1000米，甲从地、乙从地同时出发，在、两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇（含追及）时距B地最近？最近距离是多少？ 4．甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？ 5．两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？ 6．甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行千米，乙艇每小时行千米．现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地．水流速度是每小时多少千米？ 7．甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离． 8．某商场有一自动扶梯，某顾客沿开动(上行)的自动扶梯走上楼时，数得走了16级；当他以同样的速度(相对电梯)沿开动(上行)的自动扶梯走下楼时，数得走了48级，则该自动扶梯级数为？ 9．长沙至北京的路程是1560千米．甲车以每小时120千米的速度从长沙开往北京,同时乙快车从北京开往长沙,每小时比甲车多行20千米．出发多少小时后两车相遇? 10．快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地间的路程。 11．两地间相距525km。甲乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过3.5小时相遇。乙车每小时行72千米，甲车每小时行多少千米？ 12．孔目江上，码头A在B上游600千米处，甲、乙两船在A、B之间往返运送货物。若甲、乙两船的静水速度分别为每小时20和30千米，水速为每小时10千米，则两船同时从A出发，经过多少小时后甲第二次与乙迎面相遇？ 13．一艘轮船往返于相距198千米的甲乙两个码头，已知这段水路的水速是每小时2千米，从甲码头到乙码头顺流而下，需要9小时，这艘船往返于甲乙两码头共需几小时？ 14．小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？ 15．甲、乙两辆汽车从东、西两城相对开出，已知甲车行完全程用10小时，乙车行完全程用15小时，当两车相遇时甲车比乙车多行12千米，问：东西两城相距多少千米？ 16．一辆汽车从甲地开往乙地，去时的速度是36千米/时，用了4小时到达乙地，返回时用了3小时回到甲地，返回时的速度是多少？ 17．甲、乙两车同时同地出发去同一地点，甲车速度为42千米／小时，乙车速度为35千米／小时．途中甲车停车5小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地，求两地间的距离？ 18． 小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑自行车去追，每分行375米，爸爸出发多少分后能追上小明？ 19．有一辆火车以每小时 15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶．如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？ 20．轮船用同一速度往返于两码头之间，在相同时间内如果它顺流而下能行千米，如果逆流而上能行千米，如果水流速度是每小时千米，求顺水、逆水速度. 21．有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等．某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度． 22．A、B两地相距600米，甲乙两人同时分别从A、B两地向同一个方向行走，甲前乙后。甲每分钟行40米，6分钟后乙追上甲，乙的速度是多少？ 23．客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米．求甲乙两站相距多少千米？ 24．两艘客轮同时从两港相对行驶，甲轮每小时行40千米，乙轮每小时行36千米，早上8时开出，晚上11时相遇，两港口相距几千米？ 25．甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行千米，乙机每小时行千米，飞行小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？ 26．A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？ 27．一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时．求：这两个港口之间的距离? 28．甲、乙两人同时分别从A、B两地出发相向而行，他俩相遇后经过5分钟，甲抵达B点，已知甲的速度是乙的速度的2倍，那么甲到达B后还要经过多长时间，乙才能到达A点？ 29．在比例尺1∶2500000的地图上量得A、B两地相距4.8厘米。甲骑自行车以每小时12千米的速度从A地骑往B地，同时乙开车以每小时36千米的速度从B开往A地。两人几小时后相遇？ 30．甲乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行。甲的速度为a千米/小时，乙的速度为b千米/小时，经过2小时两人相遇。 （1）用式子表示A，B两地的距离。 （2）当a＝65，b＝70时，A，B两地的距离是多少千米？ 31．小轿车每小时比面包车每小时多行6千米，它们同时同地出发，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已超过城门9千米，求出发点到城门的距离． 32．甲乙两座城市相距千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行千米，客车每小时行千米．客车在行驶中因故耽误小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？ 33．一艘每小时在静水中行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140千米，用了5小时，如果这时沿原路返回，还要多少小时？ 34．一只轮船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了小时．已知顺水每小时比逆水多行千米，又知前4小时比后4小时多行千米．那么，甲、乙两港相距多少千米？ 35．客、货两车同时从甲、乙两车站迎面开来，客车每小时行驶 56km，货车每小时行驶48km，两车在距离中点40km的地点相遇， 甲、乙两车站相距多少千米？ 36．小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 37．甲、乙两地相距450千米，客车和货车同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇，它们的速度比是2∶3。客车和货车的速度各是多少？（用方程解答） 38．一条船从甲港到乙港往返一次需要2小时，由于返回时是顺水，比去时每小时多行了8千米，因此第2小时比第1小时多行驶了6千米，那么甲、乙两港相距多少千米？ 39．甲乙两车分别从AB两地同时开出，相向而行，已知甲车每时行84千米，乙车每时行76千米，3小时后两车相遇，AB两地相距多少千米？ 40．两地间路程是570千米。甲乙两辆火车同时从两地开出，相向而行，经过3小时相遇。甲车每小时行110千米，乙车每小时行多少千米？（用方程和算术两种方法解决问题） 41．龟兔赛跑，全程共2000米．已知龟每分钟爬4米，兔子每分钟跑35米．兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果乌龟到终点时，兔子离终点还有250米，你知道兔子这一觉睡了多长时间吗？ 42．学校和部队驻地相距千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行千米，小宙每小时行千米．当小宇走了千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？ 43．某人在河里游泳，逆流而上。他在A处丢失一只水壶，但向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处1000米的地方追到。假定此人在静水中的游泳速度为每分钟30米，那么水流的速度为每分钟多少米？ 44．甲、乙两人骑车分别从A、B两地相向而行，已知甲、乙两人一速度比是2∶3，甲比乙早出发15分钟，经过1小时45分钟遇见乙，此时甲比乙少走6千米，求： （1）甲、乙两人骑车的速度各是多少？ （2）A、B两地的距离是多少千米？ 45．乙两港相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆水航行比顺水航行多花了5小时，现在有一艘机帆船，静水中速度是每小时12千米，这艘机帆船往返两港需要多少小时？ 46．有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务．现有一辆中乘50人，时速为70千米的卡车．若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人全部到达目的地所用的时间最少（上下车时间忽略不计）． 47．在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，甲车每小时行驶54km，乙车每小时行驶46km，几小时后相遇？ 48．小新以每分钟米的速度沿铁道边小路行走； （1）身后一辆火车以每分钟米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时秒，那么车长多少米？ （2）过了一会，另一辆货车以每分钟米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时秒。那么车长是多少？ 49．在比例尺是1∶6000000的地图上，量得A、B两地的距离是7.5厘米，一辆客车和一辆货车分别从两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇．客车和货车的速度比是3∶2，求客车每小时行多少千米． 参考答案： 1．15 【详解】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法． 他先画了如下一幅图： 这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况． 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船． 2．40千米；6小时 【分析】先根据“路程÷时间＝速度和”求出快车和慢车的速度和；再把速度和按3∶2分配分别求出两车的速度；最后根据“路程÷速度＝时间”求出快车行完全程的时间。 【详解】360÷3.6＝100（千米/时） 100÷（3＋2）＝20（千米/时） 快车的速度：20×3＝60（千米/时） 慢车的速度20×2＝40（千米/时） 360÷60＝6（小时） 答：慢车每小时行40千米，快车行完全程要6小时。 【点睛】明确相遇问题中的数量关系式及按比分配的方法是解决此题的关键。 3．第3次    米 【详解】画出“折线示意图”，判断哪一次相遇距B地最近． 甲乙行程的折线示意图如下，图中实线表示乙，虚线表示甲． 由图可知，第3次相遇时距离B地最近． 此时两人共走了：（米） 用时：（分钟） 相遇地点距离B地：（米）． 4．27千米 【详解】两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米 5．5分钟 【详解】（分钟） 答：两个人还需要5分钟相遇． 6．0.3千米 【详解】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为小时． 相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶27千米需要小时，那么甲艇的逆水速度为(千米/小时)，则水流速度为(千米/小时)． 7．16500 【详解】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）． 8．24级 【详解】根据该顾客速度相同可得出，他上下的时间比为48：16=3：1，上下的级数差是因为自动扶梯运行的时间差导致的，4个时间单位的时间相差48-16=32，一个时间单位差8级，级数为16+8=24． 9．6小时 【详解】560÷[120+(120+20)]=6(小时) 10．250千米 【分析】由题目可知快车每小时比慢车要多行（）千米，而两辆车第二次相遇时快车一共比慢车多行210千米，由此我们可以求出在第二次相遇时它们一共行了多少小时；由题目已知两车相对开出并往返行驶，因此根据它们行驶方式我们可知，它们第二次相遇时两车一共行驶了3个两地间的路程；可以利用第二次相遇时它们行驶的时间求出1个两地间的路程两车一共花费的时间，最后根据两车的速度求出甲、乙两地间的路程。 【详解】两车的速度差： ＝35（千米）； 到第二次相遇行驶的时间：210÷35＝6（小时）； 1个两地间路程所用的时间：6÷3＝2（小时）； 两地间的路程：2×（） ＝2×125 ＝250（千米）； 答：甲、乙两地间的路程是250千米。 【点睛】这是一道典型的行程问题，里面包含路程、时间、速度三个量。而这类问题解题的关键及规律有： 同时同地相背而行：路程＝速度和×时间； 同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间； 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差； 同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间。 11．78千米 【分析】两车相遇时，两车行驶的路程和恰好等于两地的距离。据此，将乙车的速度设为未知数，依据：速度和×相遇时间＝路程，再列方程解方程即可。 【详解】解：设甲车每小时行x千米。 （x＋72）×3.5＝525 x＋72＝525÷3.5 x＋72＝150 x＝150－72 x＝78 答：甲车每小时行78千米。 【点睛】本题考查了相遇问题，速度和×相遇时间＝路程。 12．52小时 【分析】刚开始甲、乙两船都是从A出发顺利而下，当乙船到达B码头的时间是：600÷（30＋10）＝15（小时），此时甲船离B码头还有：600—15×（20＋10）＝150（千米），甲船继续顺流而下，乙船则逆流而上，甲船到达B码头的时间：150 ÷（20＋10）＝5（小时），此时乙船已逆流而上行驶了5×（30—10）＝100（千米），甲、乙两船都是逆流而上。乙船逆流而上还要再行驶：（600—100）÷（30—10）＝25（小时），在这25小时的时间内甲船逆流行驶了：25×（20—10）＝250（千米），离A码头还有600—250＝350（千米），甲船继续逆流而上。乙船顺流而下，两船变成了相遇问题，相遇时间＝350÷（30＋20）＝7（小时）。所以到甲、乙两船第二次相遇所需要的时间是：15＋5＋25＋7＝52（小时）。 【详解】600÷（30＋10） ＝600÷40 ＝15（小时） [600—15×（20＋10）]÷（20＋10） ＝[600—15×30]÷30 ＝[600—450]÷30 ＝150÷30 ＝5（小时） （600—100）÷（30—10） ＝500÷20 ＝25（小时） [600—25×（20—10）]÷（20＋30） ＝[600—25×10]÷50 ＝[600—250]÷50 ＝350÷50 ＝7（小时） 15＋5＋25＋7＝52（小时） 答：经过52小时后甲第二次与乙迎面相遇。 【点睛】解答本题一定要画图，甲、乙两船的速度在变化，所以要分段进行分析。当乙船到达B地时，甲船在哪里？当乙船逆流而上到达A时，甲船又在哪里？此时两船是相对而行，即第2次相遇。 13．20小时 【分析】首先根据“路程÷时间＝速度”求出该轮船的顺水速度；进而求出轮船在静水中速度和逆水速度；再根据“路程÷速度＝时间”即可求出逆水所用的时间，然后再根据加法的意义即可解决问题。 【详解】轮船顺水速度：198÷9＝22（千米/时） 轮船速度：22－2＝20（千米/时） 逆水速度：20－2＝18（千米/时） 逆流而上需要的时间：198÷18＝11（小时） 往返需要时间：11＋9＝20（小时） 答：这艘船往返于甲乙两码头共需20小时。 【点睛】此题属于易错题，解答流水行船问题的关键是牢记公式：顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间，静水速度（船速） ＋水流速度（水速） ＝顺水速度；船速－水速＝逆水速度。 14．145千米 【分析】 从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米．当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时小华共行了3个85千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了． 【详解】甲乙出发到第二次相遇时，小华共行: 85×3=255（千米） 甲乙两城相距:（ 255+35）÷2=290÷2=145（千米） 答：两城相距145千米． 15．60千米 【详解】根据题意可知相遇时间为：（时），那么甲车相遇时行了全程的，乙车行了全程的．甲车多行的12千米正好对应全程的，这样就能求出全程． 方法一：1÷（+）=6  （时） 12÷（）=60（千米） 方法二：甲车1小时比乙车1小时多行全程的-= 相遇时间为1÷（+）=6  （时） 所以全程为12÷6÷=60（千米） 答：东西两城相距60千米． 16．48千米/时 【分析】用去时的速度乘时间求出两地之间的距离，用两地之间的距离除以返回的时间即可求出返回的速度。 【详解】36×4÷3 ＝144÷3 ＝48（千米/时） 答：返回时的速度是48千米/时。 17．840千米 【分析】此题也可被看做是追及问题，甲车在中途停留5小时，比乙车迟1小时到达．说明走这段路程甲车比乙车少用5-l=4（小时）．因为甲车的车速比乙车快42-35=7（千米／小时），那么将此题转化为追及问题的形式为，乙车先开出4小时，然后甲车开出，甲、乙两车同时到达目的地．路程差：35×4=140（千米），速度差为7千米／小时，因此追及时间可求，即140÷7=20（小时），也是甲车行驶完全程所需的时间．则两地间的距离可求． 【详解】追及路程：35×（5-1）=140（千米） 追及时间：140÷（42-35）=20（小时） 两地之间的距离：42×20=840千米） 答：两地间的距离是840千米． 【点睛】此题目求解的关键是将题目中的条件转化成追及问题来考虑．由时间差进而确定路程差之后，问题就容易解决了． 18．3分钟 【详解】75×12÷(375－75)=3(分钟) 19．6d/7 【详解】设总距离为d，总共用时d/(15+20)，两车相遇，所以鸟飞了30*d/(15+20)=6d/7． 20．顺水30千米/小时，逆水24千米/小时 【详解】由题意知顺水速度与逆水速度比为 设顺水速度为份，逆水速度为份，则水流速度为份恰好是千米/时 所以顺水速度是(千米/时)，逆水速度为(千米/时) 21．米/秒 【详解】要求平均速度必须知道总路程和总时间，在总路程未知的情况下，可以假设总路程，化未知为已知． 解：假设上坡、平路、下坡的长度都是“1个单位”：那么上坡、平路、下坡所花时间依次为：；；． 所花的总时间为：，总路程为：，所以他过桥的平均速度为：（米/秒） 【点睛】本道题中假设的单位长度可以随意，例如可以假设上坡、平路、下坡的长度为“24个单位”，因为24是4、6、8的最小公倍数，所以计算出来各段时间都是整数，这样更方便于计算． 22．140米/分 【分析】可以设乙的速度是x米/分，由于分别向同一个方向走，当乙走的路程比甲多走600米时，能够追上，即用乙的路程－甲的路程＝600，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设乙的速度是x米/分。 6x－40×6＝600 6x－240＝600 6x＝600＋240 6x＝840 x＝840÷6 x＝140 答：乙的速度是140米/分。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键是找准等量关系是解题的关键。 23．1224千米 【分析】 如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时，由此可求出行一个全程时间：36÷3=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离． 【详解】①从出发到第二次相遇时两车行驶的时间：216÷（54-48）=36（小时） ②从出发到第一次相遇所用的时间：36÷3=12（小时） ③甲乙两站的距离：（54+48）×12=1224（千米） 答：求甲乙两站相距1224千米． 24．1140千米 【详解】晚上11时即为23时， (40+36)×(23-8) =76×15 =1140(千米) 答：两港口相距1140千米. 25．相隔160千米．飞行420千米． 【详解】①小时后相差多少千米：（千米）．②甲机提高速度后每小时飞行多少千米：（千米）． 26．船在静水中的速度是每小时25千米，水流速度是每小时5千米 【分析】根据题意，设船在静水中的速度为每小时x千米，水流速度是每小时y千米，则顺水速度是每小时x+y千米，逆水速度是每小时x﹣y千米，然后根据速度×时间=路程，分别求出两个港口之间的距离，列出二元一次方程组，求出船在静水中的速度和水流速度即可． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键． 【详解】解：设船在静水中的速度为每小时x千米，水流速度是每小时y千米， 则顺水速度是每小时x+y千米，逆水速度是每小时x﹣y千米， 所以 因此 解得． 答：船在静水中的速度是每小时25千米，水流速度是每小时5千米． 27．112千米 【详解】（船速+6）×4=（船速-6）×7，可得船速=22，两港之间的距离为：（22+6）×4=112千米． 28．15分钟 【详解】因为甲的速度是乙的速度的2倍，所以在相遇前，甲行走的路程是乙行走的路程的2倍，相遇前乙行走的路程，甲只用5分钟便走完了，所以，在相遇前二人都走了10分钟，相遇前甲走的这一段路让乙来走要用20分钟，所以甲到达B后还要经过20-5=15分钟，乙才能到达A点． 29．2.5小时 【分析】根据实际距离＝图上距离∶比例尺，用4.8÷即可求出A、B两地的实际距离，然后换算成千米；再根据相遇时间＝路程和÷速度和，用A、B两地的实际距离除以甲、乙的速度和，即可求出两人几小时后相遇。 【详解】4.8÷ ＝4.8×2500000 ＝12000000（厘米） 12000000厘米＝120千米 120÷（12＋36） ＝120÷48 ＝2.5（小时） 答：两人2.5小时后相遇。 【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算以及相遇问题。 30．（1）2（a＋b）千米 （2）270千米 【分析】（1）甲的速度加乙的速度等于甲、乙两人的速度和，再根据路程＝速度和×相遇时间，即可写出表示两地间距离的式子。 （2）把a＝65，b＝70代入（1）的式子中即可计算出A、B两地间的距离。 【详解】（1）A，B两地的距离：（a＋b）×2＝2（a＋b）千米 （2）当a＝65，b＝70时 2（a＋b） ＝2×（65＋70） ＝2×135 ＝270（千米） 答：A，B两地的距离是270千米。 31．72千米 【详解】先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间．此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间为（小时）．小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是（千米），面包车速度是：（千米/小时）．城门离出发点的距离是，计算即可． 10分钟＝小时 当面包车到达城门用的时间是： （小时）． 小轿车的速度是： （千米/小时）， 面包车的速度是： （千米/小时）， 城门离学校的距离是： （千米）． 答：从出发点到城门的距离是72千米． 【点睛】路程问题、分钟与小时的换算问题 32．客车280千米，货车250千米 【详解】因为客车在行驶中耽误小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走小时．如果从总路程中把货车单独行驶小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：（小时），相遇时客车行驶的路程:(千米)，相遇时货车行驶的路程：（千米）． 33．小时 【分析】根据路程÷时间＝速度，计算出顺水航行的速度，减去静水速度即为水流速度；返回路程仍为140千米，只要求出返回的速度即逆水速度就可以求出返回需要的时间。 【详解】顺水速度：140÷5＝28（千米/时） 水流速度：28－25＝3（千米/时） 逆水速度：25－3＝22（千米/时） 返回需要的时间：140÷22＝（小时） 答：沿原路返回还要小时。 【点睛】流水问题基本模型。熟练掌握公式是解答本题的关键。 34．150千米 【详解】由于前小时比后四小时多行千米，而顺水每小时比逆水多行千米，所以前4小时中顺水的时间为(小时)，说明轮船顺水3小时行完全程，逆水则需小时，所以顺水速度与逆水速度之比为，又顺水每小时比逆水多行千米，所以顺水速度为(千米/时)，甲、乙两港的距离为(千米)． 35．1040千米 【详解】相遇时,客车比货车多行了：40×2＝80千米 相遇时间是：80÷（56－48）＝10小时 甲、乙两车站相距：（56＋48）×10＝1040千米 36．3小时15分 【分析】画一张示意图： 图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于(4.8+10.8)=1.3(千米) 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）. 这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间. 小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地时间及 从乙地到甲地需要的时间均可求． 【详解】(4.8+10.8)=1.3(千米) 1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟） 130÷2=65（分钟） 130＋65=195（分钟）＝3小时15分 答：小李从乙地到甲地需要3小时15分. 37．客车速度60千米/小时，货车速度90千米/小时 【分析】假设客车的速度是每小时x千米，根据客车和货车的速度比2∶3，可知货车的速度是客车的，货车的速度就是x千米/小时，根据速度和×相遇时间＝路程列出方程解答即可。 【详解】解：设客车速度为x千米/小时。 2.5x×3＝450 7.5x＝450 x＝60 货车：（千米/小时） 答：客车的速度是60千米/小时，货车的速度是90千米/小时。 【点睛】解答此题的关键是找出客车和货车的速度之间的关系，再根据速度和×相遇时间＝路程列出方程。 38．15千米 【分析】如下图所示：蓝色的部分是第1小时逆水行的路程，红色的部分是第2小时行的路程。因为6÷2＝3千米，则逆水1小时后距离终点还有3千米，所以第2小时的时间内一部分时间还是逆水，一部分时间是顺水，又因为顺水1小时比逆水1小时多行8千米，所以在第2小时的时间内有6÷8＝（小时）是顺水，有1—＝（小时）是逆水，则可求出逆水速度，进而甲、乙两港之间的距离也可以求出来。 【详解】逆水速度：（6÷2）÷（1—6÷8） ＝3÷（1—6÷8） ＝3÷ ＝12（千米/小时） 甲、乙两港相距：12×1＋3 ＝12＋3 ＝15（千米） 答：甲、乙两港之间相距15千米。 【点睛】解决此题一定要画图，通过线段图可知逆水1小时后距离终点还有3千米，再依据比例知识求出行驶3千米所用的时间，即可求出逆水的速度。 39．480千米 【分析】根据路程＝速度×时间，分别求出甲车和乙车行驶的路程，再将两个路程相加，求出AB两地的距离。 【详解】84×3＋76×3 ＝252＋228 ＝480（千米） 答：AB两地相距480千米。 【点睛】本题考查相遇问题，关键是明确AB两地距离是两车行驶路程和。 40．80千米 【分析】方法一：根据题意可知，乙车速度×时间＋甲车速度×时间＝总路程，题目中已知甲车每小时行110千米，时间为3小时，总路程为570千米，所以设乙车速度为每小时x千米，据此列出方程求解即可。 方法二：根据路程＝时间×速度，将甲车的速度和行车时间代入，求出其行驶的路程，用总路程减去甲车行驶的路程即为乙车行驶的路程，再除以3小时，即为乙车的速度。 【详解】由分析可得： 方法一：解：设乙车速度为每小时x千米， 3x＋110×3＝570 3x＋330＝570 3x＋330－330＝570－330 3x＝240 3x÷3＝240÷3 x＝80 答：乙车每小时行80千米。 方法二：（570－110×3）÷3 ＝（570－330）÷3 ＝240÷3 ＝80（千米/时） 答：乙车每小时行80千米。 【点睛】本题考查了速度、时间和总路程三者之间的关系以及应用，找出他们之间的等量关系，结合实际列出方程，或者用算术的方法，要注意运算的正确性。 41．450分钟 【详解】乌龟跑完全程所需时间：2000÷4＝500（分钟） 兔子跑的路程：2000-250=1750（米） 兔子跑的时间：1750÷35=50（分钟） 兔子睡觉的时间：500-50＝450（分钟） 答：兔子一觉睡了450分钟． 42．1千米 【详解】追及时间为：(小时)，此时距部队驻地还有：(千米)． 43．25米/分 【分析】有题意可知：水壶的速度就是水流的速度，在A处丢失一只水壶后，水壶会顺着水流的速度向下漂，人继续逆流而上，人和水壶的速度和就是人在静水中游泳的速度，所以20分钟后，人和水壶之间是距离是：20×30＝600（米），此后人返回去追水壶，变成了追及问题，此时人的速度是人在静水中的速度＋水流速度，水壶的速度还是水流速度，所以人和水壶的速度差还是人在静水中的速度，即可求出人追上水壶的时间600÷30＝20（分钟），水壶所走的路程是1000米，所用的时间是20＋20＝40（分钟），进而就可求出水壶的速度即水流的速度。 【详解】20×30÷30＝20（分钟） 1000÷（20＋20） ＝1000÷40 ＝25（米/分） 答：水流的速度为每分钟25米。 【点睛】此题关键是理清不管是人和水壶的速度差还是速度和都是人在静水中的速度。 44．（1）甲的速度是12千米/时，乙的速度是18千米/时 （2）48千米 【分析】（1）设甲的速度为2X，乙的速度为3X，相遇时甲用的时间是1.75小时，而乙用的时间是1.5小时，用他们的速度乘上行驶的时间就是他们走的路程，然后根据甲比乙少走6千米，列出方程求出X的值，进而求出甲乙的速度； （2）分别求出甲乙行驶的路程，然后相加即可求解。 【详解】（1）1小时45分＝1.75小时； 15分钟＝0.25小时； 1.75小时－0.25小时＝1.5小时； 解：设甲的速度为2X千米/时，乙的速度为3X千米/时。 1.75×2X＋6＝1.5×3X 3.5X＋6＝4.5X X＝6 甲的速度为：6×2＝12（千米/时） 乙的速度为：3×6＝18（千米/时） 答：甲的速度是12千米/时，乙的速度是18千米/时。 （2）12×1.75＋18×1.5 ＝21＋27 ＝48（千米） 答：A、B两地的距离是48千米。 【点睛】本题先把速度表示出来，再分别求出它们行驶的时间，然后根据他们路程之间的关系找出等量关系列出方程求解。 45．64小时 【详解】轮船逆水航行的时间为(小时)，顺水航行的时间为(小时)，轮船逆流速度为(千米/时)，顺流速度为(千米/时)，水速为(千米/时)，所以机帆船往返两港需要的时间为(小时) 46．步行30千米，乘车60千米所用时间最少，为小时 【分析】由于卡车只能运送50个人，若将这50个人从起点送到终点，其他人步行到终点，这和150个人步行到终点所用的时间相同（全部到达时间）汽车没有起到省时间的作用．因此汽车应该把50个人送至某一点后，返回去接另外50个人，如此往返．另外不乘车的人也应步行前进．总之：车要不停地开，人要不停地走，最大限度地利用人力和物力．为了省时间，应该同时出发同时到达．由于卡车车座的限制，应将150个人平均分成3组，每组50个人．同时为了保证同时到达，每组乘车走的路程必须相同，步行也必须相同．所以一题的关键是每组要乘车走多少路，步行走多少路． 【详解】将150个人平均分成三组，每组50个人，为了使这三组人数到达目的地所用的时间最少，必须使每一组人都步行相同的路程，乘车相同的路． 如图所示，设每组步行x千米，则乘车（90-x）千米．卡车送完第一组走完（90-x0）千米后返回来接第二组，与第二组相遇时第二组走了千米，此时汽车走了．由于他们所用的时间相等，根据时间=路程÷速度，可列方程得，解得x=30（千米），即最省时间的方案是步行30千米，乘车60千米．所用的时间为． 47．5小时 【分析】先根据“实际距离 ＝图上距离÷比例尺”代入数据，求出甲、乙两地的路程；然后根据“路程÷速度之和＝相遇时间”，代入数据，列式解答即可。 【详解】＝25×2000000＝50000000（cm） 50000000cm＝500km ＝500÷100 ＝5（小时） 【点睛】此题关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，理解速度、时间、路程之间的关系。 48．（1）6米；（2）5.5米 【分析】（1）这是一个追及过程，把小新看作只有速度而没有车身长（长度是零）的火车。根据追及问题的基本关系式：（的车身长的车身长）÷（的车速的车速）＝从车头追上到车尾离开的时间，在这里，的车身长车长（也就是小新）为，据此可求车长； （2）这是一个相遇错车的过程，还是把小新看作只有速度而没有车身长（长度是零）的火车。根据相遇问题的基本关系式，（的车身长的车身长）÷（的车速的车速）＝两车从车头相遇到车尾离开的时间，据此求解即可。 【详解】（1）4秒＝分 （100－10）× ＝90× ＝6（米） 答：车长为6米。 （2）（100＋10）× ＝110× ＝5.5（米） 答：车长是5.5米。 【点睛】熟练掌握火车行程中的追及和相遇公式是解题关键。 49．90千米 【详解】6000000×7.5＝45000000(厘米)＝450(千米) 450÷3＝150(千米)　150÷(3＋2)×3＝90(千米) 答：客车每小时行90千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$