2.1第1课时　认识一元二次方程.课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 1　第1课时　认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 - 1　第1课时　认识一元二次方程 探究与应用 课堂小结与检测 第二章　一元二次方程 探究　一元二次方程的概念 [问题情境] (1)幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯(如图2-1-1),四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,求这个宽度. 若设所求的宽度为x m.根据题意,列出方程; 图2-1-1 解: (8-2x)(5-2x)=18. 探究与应用 (2)有五个连续的整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方和,求第一个整数. 若设第一个整数为x.根据题意,列出方程; 解:x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2. 探究与应用 (3)如图2-1-2,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米? 若设梯子底端滑动x m.根据题意,列出方程. 图2-1-2 解:根据题意,得滑动之前梯子的底端到墙的距离为=6(m),则可列方程为(x+6)2+(8-1)2 =102. 探究与应用 [启发思考] 按要求回答下列问题: (1)把[问题情境]中得到的三个方程进行化简,整理成等号右边为0的形式; (2)观察这三个方程,有什么共同特点? 解:(1)答案不唯一.整理三个方程依次为2x2-13x+11=0,x2-8x-20= 0, x2+12x-15=0. (2)这三个方程的共同特点:都是整式方程,只含有一个未知数,未知数的最高次数是2. 探究与应用 [概括新知] 1.一元二次方程的定义:只含有　 　个未知数x的　 　　方 程,并且都可以化成　　　　　　　(a,b,c为常数,a≠0)的形 式,这样的方程叫做一元二次方程.  2.一般形式:我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二 次方程的一般形式,其中　 　　,　　　,　　　　分别称为 二次项、一次项和常数项,　　　　,　　　　分别称为二 次项系数和一次项系数.  一 整式 ax2+bx+c=0 ax2 bx c a b 探究与应用 应用一　识别一元二次方程 例1 有下列方程:①12x-10=0;②x2++5=0;③x2+5x-6=0;④4x2=4x(x-2);⑤ax2+bx+c=0(a,b,c为常数);⑥(x-1)2+y2=2.其中是一元二次方程的是　　　　(填序号).  ③ 探究与应用 学 方法 判定一个方程是一元二次方程的三点注意 (1)化简前是整式方程,且只含有一个未知数; (2)化简后含有未知数的项的最高次数为2; (3)化简后二次项系数不为0. 三者缺一不可. 探究与应用 应用二　利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 例2 把下列方程化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)x(x-2)=0; 解:答案不唯一. 去括号,得x2-2x=0. 二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为0. 探究与应用 (2)x2-2x+1=2x(x-1); 解:答案不唯一. 去括号,得x2-2x+1=2x2-2x. 移项、合并同类项,得x2-1=0. 二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为-1. 探究与应用 (3)=-3. 解:答案不唯一. 去分母,得2x2-3(x+1)=-18. 去括号、移项、合并同类项,得2x2-3x+15=0. 二次项系数为2,一次项系数为-3,常数项为15. 探究与应用 确定一元二次方程各项及各项系数的两点注意 (1)把方程化为一般形式; (2)各项系数包括前面的符号. 防 易错 探究与应用 应用三　根据实际问题列简单的一元二次方程 例3 根据题意,列出一元二次方程,并化为一般形式. (1)一个直角三角形的斜边长是17 cm,两直角边长之差为 7 cm,求较短的直角边长; 解:设较短的直角边长为x cm,则较长的直角边长为(x+7)cm. 根据题意,得x2+(x+7)2=172. 化为一般形式为x2+7x-120=0(一般形式不唯一). 探究与应用 (2)三个连续奇数的平方和是251,求这三个数. 解:答案不唯一.设中间的奇数为x,则可列方程为(x-2)2+x2+(x+2)2 =251.化为一般形式为3x2-243=0. 探究与应用 利用一元二次方程的定义确定字母参数的值或取值范围 (1)若mx2+2x=3x2+mx-3是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是　　　　;  (2)已知方程(m+4)x|m|-2+8x+1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是　　　　.  【延伸拓展】 m≠3 4 探究与应用 利用一元二次方程的定义确定字母参数的值(取值范围)时,先根据未知数的最高次数为2列出关于字母参数的方程并求解,再根据二次项系数不为0,进一步确定字母参数的值(取值范围).注意:如果方程不是一般形式的,要先把方程化为一般形式. 理 思路 探究与应用 [本课时认知逻辑] 方程 实际问题 一元二次方程 识别方程及系数 一般形式 建立模型 观察 特点 变形 整理 应用 列方程 课堂小结与检测 [检测]　 1.下列方程中,是一元二次方程的是 (　　) A.(x+3)2=x2 B.2x2+y=0 C.x2+1=0 D.x2+=3 C 课堂小结与检测 2.若关于x的方程(a-1)x2+4x-3=0是一元二次方程,则a的取值范围是　　　　.  a≠1 课堂小结与检测 3.填表: 一元二次方程 一般 形式 二次项 系数 一次项 系数 常数 项 2x2-x=3         7x=3+x2         3x2-5x+2=-5x         (x-2)(2x-3)=(x+3)2         解:答案不唯一.如上表. 2x2-x-3=0 2 -1 -3 x2-7x+3=0 1 -7 3 3x2+2=0 3 0 2 x2-13x-3=0 1 -13 -3 课堂小结与检测 4.根据下面的问题,列出关于x的一元二次方程,并化为一般形式. (1)一个长方形的长比宽多2,其面积是100,求这个长方形的长x; 解:∵长方形的长为x,长比宽多2, ∴长方形的宽为x-2. 根据题意,得x(x-2)=100. 一般形式为x2-2x-100=0(一般形式不唯一). 课堂小结与检测 (2)直角三角形纸片的两条直角边长相差5,面积是7,求较长的直角边长x. 解:∵较长的直角边长为x,两条直角边长相差5, ∴较短的直角边长为x-5. 根据题意,得x(x-5)=7. 一般形式为x2-5x-14=0(一般形式不唯一). 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$