7.1数系的扩充和复数的概念的课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1数系的扩充和复数的概念 新课程标准 核心素养 1.通过方程的解，认识复数，理解复数的代数表示. 数学抽象 2.理解复数的分类，掌握复数相等的充要条件. 数学运算 问题情境 试求解方程： . 从方程的角度看，在实数集中，负数不能开平方， 就是这个方程在实数集中没有解. 例如： ① 在自然数集中求方程 的解； ② 在整数集中求方程 的解； ③ 在有理数集中求方程 的解. 回忆之前的学习，当我们遇到给定数集内方程无解时是怎样处理的？ 问题情境 在已知数集内方程无解时，可以对数系进行合理扩充.例如，为了解决正方形对角线的度量和方程 在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集.数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配率.从自然数系扩充到实数系的过程中，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关. 数系的扩充 自然数 正有理数和零 有理数 实数 N Q+∪{0} Q R 用图形表示数集包含关系： 一：数系的扩充 6 负数能否开平方? 在解方程时经常会遇到这类问题.如果负数可以开平方,那这个平方根会不会是实数,是什么数呢? 7 实部 2.复数的代数形式 虚部 其中i 称为虚数单位。 思考2：你认为如何定义两个复数相等？ 通常用字母 z 表示，即 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 . 一. 复数的概念 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 1.定义： 8 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 二.复数相等 思考2：在什么条件下z=a+bi(a,b∈R)是实数？ 复数集C和实数集R之间有什么关系？ 三.复数的分类 复数：a+bi(a,b∈R) 思考1： 1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部. 0, 练习： 实数: 0, 虚数: 纯虚数: × × × 例1. 当m为何实数时，复数 是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 1.复数z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有(　　) A．m＝±1 B．m＝－1 C．m＝1 D．m≠1 练习： B 2.复数z＝cosθ＋isinθ，且θ∈[0,π]， 若z是实数，则θ的值为________； 若z为纯虚数，则θ的值为______． 0或π π/2 11 例2.已知x，y是实数，且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i， 求x，y. 1. a2＋2i＝4＋(4－a)i，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2 C．2或－2 D．0或2 练习： B 2.已知关于x的方程(3＋2i)x＋(m－2i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________． 1 －3 探究点三　复数相等及其应用 【典例3】1.已知复数z1=a+2i,z2=2(1+bi),若z1=z2,则实数a,b的值分别为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.a=1,b=1 B.a=1,b=2 C.a=2,b=1 D.a=2,b=2 2.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值及方程的实 数根. 13 【思维导引】1.根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值. 2.设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R)的形式解决. 14 【解析】1.选C.因为复数z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,则实数a=2,2b=2,即a=2, b=1. 2.设a是原方程的实数根,则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以a2+a+3m=0且2a+1=0, 所以 且 所以 所以 ,方程的实数根为 15 【类题通法】 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方 程组求参数的解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了 条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个虚数不能比较大小. 16 【定向训练】 已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,则实数m的值为_____.  【解析】因为M∪P=P,所以M⊆P. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得 解之得m=1. 或由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得 解之得m=2. 综上可知m=1或m=2. 答案:1或2 17 【补偿训练】 求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R. 【解析】由复数相等的充要条件可知 解得 18 1.复数-2i的实部与虚部分别是(　　) A.0,2 B.0,0 C.0,-2 D.-2,0 解析:-2i的实部为0,虚部为-2. 答案:C 2.若a,b∈R,i是虚数单位,且b+(a-2)i=1+i,则a+b的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因为b+(a-2)i=1+i,所以b=1,a=3,所以a+b=4. 答案:D 19 3.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值是　　　　　.  答案:1 20 4.给出下列命题:①若a∈R,则a2i为纯虚数;②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;③两个虚数不能比较大小;④x+yi的实部、虚部分别为x,y.其中正确命题的序号是　　　　　.  解析:①当a=0时,02i=0,故①不正确;②虚数不能比较大小,故②不正确;③正确;④x+yi中未指明x,y∈R,故若x,y为复数,则x+yi的实部、虚部未必是x,y. 答案:③ 21 5.当实数m取什么值时,复数(m2-3m+2)+(m2-4)i是: (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 解:设z=(m2-3m+2)+(m2-4)i. (1)要使z为实数,必须有m2-4=0,得m=-2或m=2,即m=-2或m=2时,z为实数. (2)要使z为虚数,必须有m2-4≠0,即m≠-2且m≠2.故m≠-2且m≠2时,z为虚数. 22 23 数系的扩充和复数的概念 核心知识 方法总结 核心素养 易错提醒 1.数系的扩充. 2. 复数有关的概念 (1)判断复数是实数、虚数或者纯虚数：①保证复数的实部、虚部均有意义．②根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解． (2)复数相等求参数的步骤：分别确定两个复数的实部与虚部， 利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解． (1)两个复数不全是实数，就不能比较大小． (2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题. (3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要 注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． 1.数学抽象：复数及相关概念. 2.逻辑推理：复数的分类. 3.数学运算：复数相等求参数. 1、复数的代数形式. 2、复数的实部、虚部. 3、虚数、纯虚数. 4、复数相等. 24 $$