3.2.2 第1课时函数奇偶性的定义及判定 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2(1) 函数奇偶性的定义及 判定 1 [学习目标] 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，提升数学抽象的核心素养. 2.能判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的定义和图象解题，提升直观想象 的核心素养. 3.掌握奇偶性与单调性的综合运用，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 2 探索新知 活动1：观察函数 和 的图象， 可以发现它们有何共同特征？ 5 这两个函数的图象都关于轴对称 探索新知 类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于轴对称” 这一特征吗？ 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值情况： 当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 以为例，对定义域内任意的都有 ，这时称函数 为偶函数. … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … -1 0 1 2 1 0 -1 … 形成概念 一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有, 且,那么函数就叫做偶函数（even function）。 为偶函数 的图象关于轴对称 探索新知 思考1： 是否是偶函数？ 偶函数的定义域有何要求？ 奇（偶)函数的定义域必须关于原点对称 问题： 的定义域关于原点对称是具有奇（偶函数）的什么条件？ 必要不充分条件 例析：奇偶性的判断 例1.判断下列函数的奇偶性. (1) (2) 解:(1)函数的定义域为定义域关于原点对称。 ∵,有, ∴函数为偶函数. 看定义域是否关于原点对称 判断的关系 用定义法判断函数的奇偶性： （1）看定义域是否关于原点对称；（2)判断f(-x)与f(x)的关系. 活动2：观察函数和()=的图象，讨论这两个函数图象有何共同特征？并尝试用符号语言精确地描述这一特征. 图象特征：图象都关于原点对称 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -1 无 1 … 代数特征:当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数. 以为例，对定义域内任意的都有 ，这时称函数 为奇函数. 形成概念 一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有, 且,那么函数就叫做奇函数（odd function）。 f(x)为奇函数 f(-x)= -f(x) f(x)的图象关于原点对称 例1.判断下列函数的奇偶性. (1) (2) 解:(1)函数的定义域为定义域关于原点对称 ∵,有, ∴函数为奇函数. 看定义域是否关于原点对称 判断的关系 用定义法判断函数的奇偶性： （1）看定义域是否关于原点对称；（2)判断与的关系。 4.如图，给出奇函数的局部图象，则 的值为____. [解析] 由题图可知, , 又 为奇函数， ∴ , , ∴ . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 11 ［例3］ 函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. [解析] 由题可得函数的定义域为，且 ， 故函数 为奇函数，故B，D错误； 由， ，故C错误.故选A. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 12 探究点一 函数奇偶性的判定 ［例1］ 判断下列函数的奇偶性. （1） ； 解：函数的定义域为 ，定义域关于原点对称 ∵ ，， 且 ， ∴ 函数 为奇函数. 看定义域是否关于原点对称 判断的关系 用定义法判断函数的奇偶性： （1）看定义域是否关于原点对称；（2)判断与的关系. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 13 （2） ； 解：函数的定义域为, ， ∵ ，，且， 故，且 ， ∴ 既是奇函数又是偶函数. （3） . 解：∵ ，没有意义， ∴ 是非奇非偶函数. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 14 方法总结 根据函数解析式判断函数 奇偶性的步骤 （1）求出函数的定义域 . （2）判断定义域是否关于原点对称，若否，则函数 不具有奇偶性，结束判断； 若是，则进行下一步. （3），计算,若,则为偶函数；若 ， 则为奇函数；若，且，则 既不是奇函数也不是偶函数. 提醒：（1）若函数解析式不是最简形式，需先化简函数解析式. （2）若函数或可化为，且定义域关于原点对称，则函数 既是 奇函数又是偶函数. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 15 探究点二 利用奇、偶函数图象解题 ［例2］ 设为定义在 上的偶函数， 当时，；当 时， ，直线 与抛物线 的一个交点为 ，如图所示. （1）补全的图象，写出 的 单调递增区间（不需要证明）； 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 16 解：由于是偶函数，则其图象关于 轴对称， 其图象如图所示． 观察可知的单调递增区间为 . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 17 （2）根据图象写出不等式 的解集. 解：当时，，可得，即 . 根据函数图象可得，当或时， ， ∴ 的解集为 . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 18 探究点三 利用函数的奇偶性求参数 ［例3］(1) 已知定义在上的函数 是偶函数，求 的值； 解：∵ 是偶函数，∴ 的定义域关于原点对称， 又∵ 的定义域为 ， ∴ ，解得 . 又∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 19 （2）函数是定义在上的奇函数，求的值； 解：∵函数是定义在上的奇函数，则 ， 当时，， 且 ， 即是定义在上的奇函数，符合题意，∴ . （3）已知函数为奇函数，求的值. 解：法一 ∵是奇函数，，∴ ， ∴ ，即，解得.经检验， 符合题意. 法二 注意到解析式中分母为奇函数，因此要使整个函数为奇函数， 只需分子为偶函数即可， 即的对称轴为轴，∴ . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 20 方法总结 （1） 定义域含参数：奇（偶）函数的定义域为 ，根据 定义域关于原点对称，利用 求参数. （2）解析式含参数：一般方法是根据或 是关于 的恒等式求解.若利用特值求解，要注意检验. （3）若函数是奇函数且在处有定义，则 . （4）若函数是偶函数，则 . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 21 [学海拾贝] 抽象函数的奇偶性 ［典例探究］ 已知是偶函数，则函数 图象的对称轴是( ) C A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 [解析] ∵ 是偶函数，则图象的对称轴为直线 ， 将函数的图象向左平移1个单位长度可得 的图象， ∴ 函数图象的对称轴是直线 .故选C. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 22 23 $$