北京市朝阳外国语学校2024～2025学年上学期九年级期中数学试卷

北京市朝阳外国语学校2024~2025学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共10题，共20分，每小题2分．） 1. 抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ） A. 直线x＝﹣1 B. 直线x＝1 C. 直线x＝0 D. 直线y＝1 2. 点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ） A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，2） D. （1，﹣2） 3. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方正确的是（） A. B. C. D. 5. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 2 6. 将抛物线向上平移个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过点（﹣3，1）；②图象在第二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，y＞3．其中错误的结论有（　　） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 8. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 9. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度x/℃ … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 … 植物每天高度的增长量y/mm … 41 49 49 41 25 1 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y是温度x的二次函数，那么下列三个结论： ①该植物在0℃时，每天高度的增长量最大； ②该植物在﹣6℃时，每天高度的增长量能保持在25mm左右； ③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长. 上述结论中，所有正确结论的序号是 A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 10. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10大题，共计30分，每小题3分．） 11. 写出一个以0和为根的一元二次方程:_________． 12. 若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）． 13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为米，轮子的半径为米，求轮子的吃水深度． 15. 在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为__________． 16. 如图，A，B两点在反比例函数的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形面积为1，则阴影部分的面积之和为______． 17. 在同一直角坐标系xOy中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A（，m），B（，m），C（，m），其中m为常数，令，那么的值为___________（用含m的代数式表示）. 18. 如图，⊙O的动弦，相交于点，且，．在①，②，③中，一定成立的是____________（填序号）． 19. 在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接，．若，，则我们把叫做点的“角坐标”． （1）点的“角坐标”为______; （2）若点到轴的距离为3，则的最小值为_____． 20. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是__________（填写序号）． 三、解答题（共8大题，本题共50分，第21～22题，每小5分；第23～25小题，每小题6分；第26～27小题，每小题7分；第28小题，8分．） 21. 解方程：． 22. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：直线BD，使得． 作法：如图， ①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O； ②以点O为圆心，OA长为半径作圆； ③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D； ④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接AD， ∵点A，B，C，D在上，， ∴______． ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 23. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是． （1）求和的值； （2）设点是双曲线上一点，直线与轴交于点．若，结合图象，直接写出点的坐标． 24. 如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 25. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线． （1）求t的值； （2）已知，是该抛物线上的任意两点，对于，，都有，求m的取值范围． 27. 如图，在三角形中，，，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为________； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点A和线段，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形，且，则称线段是点A的“相关线段”．例如，图1中线段是点A的“-相关线段”． （1）已知点A的坐标是． ①在图2中画出点A的“-相关线段”，并直接写出点M和点N的坐标； ②若点A的“-相关线段”经过点，求的值； （2）若存在使得点P的“-相关线段”和“-相关线段”都经过点，记，直接写出t的取值范围． 北京市朝阳外国语学校2024~2025学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共10题，共20分，每小题2分．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（共10大题，共计30分，每小题3分．） 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】＜ 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】轮子的吃水深度米 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】6 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】①③ 【19题答案】 【答案】 ①. ②. 【20题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（共8大题，本题共50分，第21～22题，每小5分；第23～25小题，每小题6分；第26～27小题，每小题7分；第28小题，8分．） 【21题答案】 【答案】 【22题答案】 【答案】 （1）如图，直线BD就是所求作的直线 （2）在同圆中，等弧所对的圆周角相等 【23题答案】 【答案】（1），．（2）满足条件的点坐标为或． 【24题答案】 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又为的半径， ∴与相切； （2） 【25题答案】 【答案】（1）①，；② （2） 【26题答案】 【答案】（1）1 （2） 【27题答案】 【答案】（1） 解：， 证明：∵，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）①； ②，理由如下： 延长到N，使，连接、， ∵M为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵'为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【28题答案】 【答案】（1）① 如图，即为所求． 点M的坐标是，点N的坐标是； ②的值为或 ； （2） ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $