精品解析：河南省中州联盟2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

中州联盟2023~2024学年上学期期末考试 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 2. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 4. 为了得到函数图象，可以将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 值是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知：，则成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. ， B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 11. 已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 在上单调递减 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是__________. 13. _______. 14. 已知，且，则的最大值是__________. 15. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. （1）已知为第二象限角，求的值； （2）化简：． 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求的值域. 18. 已知二次函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若，，求最小值. 19. 已知函数． （1）若，且为奇函数，求的值； （2）若，且的最小值为，求的最小值． 20. 为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据： 21. 如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为． （1）求解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中州联盟2023~2024学年上学期期末考试 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定求解. 【详解】命题“”的否定为“或”. 故选：B. 2. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知影部分所表示的集合为，再结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】由图知，影部分所表示的集合为， 又，， 所以图中阴影部分所表示的集合为， 故选：A. 3. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A B. （1，2） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度. 本题选择D选项. 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 6. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式与和角的正切公式化简计算即得. 【详解】. 故选：C. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断B、D，再根据函数在上的单调性排除C. 【详解】函数，令，解得， 所以函数的定义域为，故排除B、D； 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C. 故选：A 8. 已知是定义在上的偶函数，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，对已知式进行两次赋值，推得，求出函数的周期，再求出的值，最后利用函数的周期性即可求得. 【详解】因是上的偶函数，且， 用替换，得 用 替换 ，可得，即函数的一个周期为4， 在中，令，得， 因，代入整理，解得或，因，故， 于是，， 则 故选：D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知：，则成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】解出一元二次不等式，再根据充分不必要条件的判定即可. 【详解】由，解得，设：， 成立的一个充分不必要条件为集合，则且， 所以和都是充分不必要条件. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. ， B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，当时，， 因为在上不单调，所以在上不单调，故C错误； 对于D，因为， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由是偶函数可得，即可判断A，由单调性以及对称性即可判断BCD． 【详解】是偶函数， ， 图象关于直线对称，A正确； 又在上单调递增，，但与的正负符号不确定，无法确定，的大小，B错误； ,在上单调递减， ，C正确； 令，得， 在上单调递减，D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 13. _______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂、对数的运算计算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 14. 已知，且，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以 因为，所以，即. 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 故答案为：. 15. 已知函数，若关于方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法结合二次函数的零点计算即可 【详解】易知，令， 则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根， 由，解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. （1）已知为第二象限角，求的值； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数平方式，由正弦值求得余弦值，结合余弦差角公式，可得答案； （2）利用三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】（1）为第二象限角， ， 所以． （2）因为， ，， 所以原式. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调区间，采用整体代换方法，即可求得答案； （2）根据，确定，由正弦函数的性质求得答案. 【小问1详解】 因为， 令， 得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 函数， 当时，， 结合正弦函数的性质可得： 当时，即，函数； 当时，即，函数. 所以， 故的值域为. 18. 已知二次函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 设， 因为 ， 所以，解得，所以. 【小问2详解】 ，. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 19. 已知函数． （1）若，且为奇函数，求的值； （2）若，且的最小值为，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由奇函数可得，代入求解即可 （2）利用换元法得，然后利用基本不等式求最值即可 【小问1详解】 当时，， 因为是奇函数，所以， 即，得，可得． 【小问2详解】 令，则， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由题意，，所以．所以， 当且仅当时等号成立，由，解得， 所以的最小值为4 20. 为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】（1）选择函数更合适，解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用现有函数模型，代入题设相关数据并检验即可判断； （2）利用（1）中结论，结全对数的运算法则即可得解. 小问1详解】 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. 【小问2详解】 依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 21. 如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得，再将点代入解析式求出即可； （2）先根据函数平移的性质求出，将函数的零点问题转化为函数图象交点的问题，根据函数的对称性求解. 【小问1详解】 设的最小正周期为，则， 所以，所以， 又因为函数的图象的一个最高点为， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，得， 考虑与图象的所有交点的横坐标之和， 函数与的图象都关于点对称， 令，解得， 函数与的图象如图所示： 故两函数图象有且仅有9个交点从左到右分别为， 所以，，，， 所以，故函数的所有零点之和为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$