椭圆中的焦点三角形练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆中的焦点三角形练习题 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 题号 一 二 三 四 总分 得分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 4．设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 5．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 6．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ） A．2 B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 10．已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接PM并延长交轴于点，且 . 13．已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 14．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．    四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知椭圆的左右焦点分别为，且离心率为 ，点M为椭圆上一动点，面积的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆．若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由． 16.（本小题15分） 已知椭圆E的两个焦点的坐标分别是，点在椭圆上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求的平分线所在直线l的方程． 17.（本小题15分） 椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点（如图所示），，的面积是的面积的2倍．若，求椭圆的方程． 18.（本小题17分） 已知椭圆C:（）的左、右焦点分别是、,过的直线l与C相交于A,B两点,的周长为,且椭圆C过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设和的面积分别为和,,求实数的取值范围. 19.（本小题17分） 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆中的焦点三角形练习题解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 题号 一 二 三 四 总分 得分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】依题意得，设， 不妨设点在第一象限，若，有， 故或， 解得或，又9，所以. 若，有，同理可得. 此时，，不符合点在第一象限， 所以. 故选：B. 2．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【详解】由，得， 设， 即，则，解得. 故选：B. 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 4．设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【详解】设，则满足，取， 因为，所以，即， 联立，解得， 则的面积， 故选：C 5．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 6．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而， 又，于是，，因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 故选：B 7．已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为焦距为，即， 因为，又，所以，， 在中由正弦定理，即， 在中由正弦定理，即， 因为，所以， 所以，又，所以， 又，所以， 所以， 在中， 解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆的方程为. 故选：A    8．已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的平分线交线段于点，所以， 由正弦定理得，. 又因为， 所以，即. 不妨设，则， 则，解得， 所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】ABD 【详解】由已知得： 对于A，由为椭圆上第一象限内任意一点可得，，A正确； 对于B，由，得以为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点使得，B正确； 对于C，由为椭圆上第一象限内任意一点可得， 又由可得，解得，与矛盾，C错误； 对于D，由已知， 因为， 而，所以，所以存在点，使得，D正确． 故选：ABD． 10．已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】由椭圆C：，得，则， 所以， 因为点P是椭圆上的一个动点，所以， 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得， ， 即，则， 所以， 所以的面积为，故B正确； 对于C，当点位于椭圆得上下顶点时，最大， 当点位于椭圆得上下顶点时，， 此时为等边三角形，故的最大值为， 所以椭圆C上不存点，使得，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 经检验符合题意，所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 【答案】AD 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，得， 将代入，则，解得，不妨令，， 由，则，即，将其代入，可得， 化简得，由，解得，则椭圆， 对于A，当点为椭圆的上（或下）顶点时，最大，如图： 由椭圆，则，，在中，， 由对称性得，因此的取值范围为，A正确； 对于B，如图： 设，，则，， 在中，由余弦定理得，即，整理得， 因此，B错误； 对于C，设，，则，， 当时，为等腰三角形，此时的坐标为或， 当时，为等腰三角形，此时，设， 则，消去得， 由，则方程有解，C错误； 对于D，显然，当且仅当点为椭圆长轴端点时取等号， 因此，D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接PM并延长交轴于点，且 . 【答案】/ 【详解】如图，连接，在和中， 因为为的内心，平分，平分， 因为， 所以利用角平分线定理可得， 所以由比例的等比性质可得，得， 因为，所以，所以. 故答案为： 13．已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【答案】2 【详解】    由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得：. 故答案为：2. 14．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．    【答案】/ 【详解】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得， 由椭圆C的方程为，所以,, 由椭圆的定义可知：， 由椭圆的光学性质得到直线平分，可得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知椭圆的左右焦点分别为，且离心率为 ，点M为椭圆上一动点，面积的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆．若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是，理由见解析. 【详解】（1）由题意可知，解得 所以椭圆的方程为. （2） 由（1）可知， 因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以， 所以， 设点，则，圆的半径为， 则直线的方程为， 的方程设为，则，化简得 由，得，所以点， ，所以点在椭圆上， ∴，即． 16.（本小题15分） 已知椭圆E的两个焦点的坐标分别是，点在椭圆上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求的平分线所在直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设椭圆的方程为， 则，， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）设的平分线所在直线l与轴相交于点， 因为，， 是角平分线， 所以，即， 解得， 所以角平分线所在直线的斜率为， 所以的平分线所在直线l的方程为，即 17.（本小题15分） 椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点（如图所示），，的面积是的面积的2倍．若，求椭圆的方程． 【答案】 【详解】由题意可得， ∴， 由椭圆的定义得， 设， 在中，由余弦定理得 ， ∴． 在中，同理可得， ∴，解得，可得，，． 由，得，则， ∴椭圆的方程为． 18.（本小题17分） 已知椭圆C:（）的左、右焦点分别是、,过的直线l与C相交于A,B两点,的周长为,且椭圆C过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设和的面积分别为和,,求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由的周长为,椭圆C过点, 结合椭圆的定义可得,, 所以,,所以椭圆C的方程为; （2）设l的方程式为,,, 由题意知,异号,则A,B两点坐标满足方程组, 化简得,则,, 所以, 所以, 由韦达定理得:, 故的取值范围是. 19.（本小题17分） 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）依题意得：，． 由椭圆定义知， 又，则， 在中，，由余弦定理得： 即，解得 又 故所求椭圆方程为 （2）设，直线 联立方程组，得， ，得， ，， ， 由题意知，由，，代入化简得 ， 故直线过定点， 由，解得， ， 令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$