精品解析：吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

名校调研系列卷·九年级期中测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：D 3. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC． 【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°， 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°， 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°． 故选A． 4. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 5. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解． 【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根， ∴4+2b-c =0， ∴2b-c =-4． ∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解． 6. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可. 【详解】如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D， ∵AB=24， ∴AC=12， ∵OA=13， 在直角三角形OAC中， OC==5， ∴CD=OD-OC=13-5=8， 故选C. 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 8. 若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义可得：，且，再计算出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为： 9. 如图，是的直径，，则的度数是__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查同弧所对圆心角相等、直径所对的圆心角知识，根据题意求得，结合同弧所对圆心角相等求得，即可求得． 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：一元二次方程有实数根 ∴，解得 故答案为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 11. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再利用四边形的内角和定理求出，然后求出，根据旋转的性质可得对应边、的夹角即为旋转角． 【详解】解：由旋转可得：， （对顶角相等）， ， ， 旋转角． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了旋转的性质，四边形的内角和，对顶角相等，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 12. 如图，三点在上，．则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，先求出度数，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由可得，根据求值即可． 【详解】， ， 恰为直角三角形的两条直角边的长， ． 故答案为：3． 14. 如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握抛物线上的点的坐标代入解析式能使左右两边相等，抛物线的顶点横坐标为，据此列式即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∵顶点在直线上， ∴，即， ∴，即， ∴ 故答案为： ． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项，然后对式子进行因式分解，再令两个因式分别等于0即可求解 ． 【详解】解：， ， ． 16. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长． 【答案】1.6 【解析】 【分析】由旋转的性质可得：AD＝AB，根据已知条件证明△ABD是等边三角形，进而求得BD=2，根据CD＝BC－BD即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得：AD＝AB， ∵∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2， ∵AB＝2，BC＝3.6， ∴CD＝BC－BD＝3.6－2＝1.6． 【点睛】本题考查了性质的性质，等边三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 17. 如图，的内接四边形中两组对边的延长线分别相交于点，且，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．先根据三角形外角性质计算出，再根据圆内接四边形的性质计算出，然后再根据三角形外角性质求． 【详解】， ， 为圆内接四边形 ， ， ， ． 18. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的表达式； （2）点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）点M的纵坐标的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求解析式， （1）根据对称轴和点利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）根据题意得，求出相对应的纵坐标，但注意抛物线在顶点时取得最小值； 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴对称轴， ∴． 将点代入抛物线，得， ∴， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意得， ∴当时，， 当时，． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，抛物线取得最小值，最小值为． ∴点M的纵坐标的取值范围是． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）画出关于原点成中心对称的图形． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （）根据旋转的性质作图，找的对应点，然后连接即可； （）根据中心对称的性质作图，找的对应点，然后连接即可． 【小问1详解】 解：即为所求； 【小问2详解】 解：即为所求． 20. “靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元？ 【答案】每套应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每套“竹编篮”降价元，利用该商店每天销售“竹编篮”获得的利润每套的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设每套降价元， 由题意，得， 解得：，， ∵每套降价幅度不超过6元， 故， 答：每套应降价元． 21. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵B（2，-3）， ∴BC//x轴， ∴到线段的距离为1，， ∴， ∴， 设，由题意可知点P在直线BC上方， 则， 整理得，， 解得，或， ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，则，，进而可得． （2）如图，连接，连接，设的半径为，由是的直径，可得，由，可得，，则，证明，则，即，可求，则，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，连接， 设的半径为， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 解得， ∴，， 由勾股定理得，， ∵是的直径，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材． 素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱高为，抛物线形灯杆的最高点距离地面，且到灯柱的水平距离为，灯泡到地面的距离为．（灯泡大小忽略不计） 素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于对称（C、D分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架． 小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务： （1）求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围） （2）小张同学设计的支架长为，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架的长度是否符合要求，并说明理由． 【答案】（1） （2）他设计的景观灯支架的长度符合要求， 理由如下： 在中，当时， 解得或（舍去）， ∴， ∵灯泡C、D关于对称 ∴， ∴， ∴他设计的景观灯支架的长度符合要求． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意得，该抛物线顶点坐标为，再把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）在求出当时，x的值，即可求出点D的坐标，进而求出点C的坐标即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，该抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴该抛物线在第一象限的函数表达式为； 【小问2详解】 略 24. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 【答案】（1）， （2） 成立．理由如下： 如图②，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以（1）中的结论仍然成立； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的性质得出，进而判断出，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点在线段上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，利用线段的加减即可得出结论． 【小问1详解】 解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当点在线段上时，如图③，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点在线段上时，如图④，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为． （1）__________； （2）设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值． 【答案】（1）3． （2）当时，；当时，． （3）． 【解析】 【分析】（1）过点A作，垂足为，可得四边形是矩形，先求出，再在中求出即可求解； （2）分点在、上两种情况由三角形面积公式即可求解； （3）过点P作，垂足为，可得四边形是矩形，再在中，，由此列方程求解即可. 【小问1详解】 解：如解图1，过点A作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 故答案为：3． 【小问2详解】 解：如解图2，当时，，， ∵，即， ∴点P在上，此时， 当时，如解图3， 点P在上，，， 此时， 综上所述：； 【小问3详解】 解：如解图4．过点P作，垂足为， 同理（1）可得：四边形是矩形， ，，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，（不合题意舍去）． ∴当点在线段上运动，且点之间的距离为时，此时． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，函数解析式、一元二次方程的应用，灵活运用分类思想是解题的关键 26. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上)，与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接，求 （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）3 （3）存在，点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴， ∴， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； 【小问2详解】 由（1）知，直线的解析式为，，二次函数对称轴为， ∵直线与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点， ∴， ∴， ∴的面积 【小问3详解】 存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形． ∵顶点坐标为， ∴对称轴为， 过点A作于点E， 在中，． （1）当时，设， 在中， ∴ 解之得 ∴； （2）当时，根据等腰三角形三线合一得：， ∴， ∴； （3）当时，， ∴，． 综上所述：点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级期中测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 4. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位 5. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 6. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 8. 若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是_____________． 9. 如图，是的直径，，则的度数是__________． 10. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 11. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则________． 12. 如图，三点在上，．则______． 13. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为__________． 14. 如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为__________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程 16. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长． 17. 如图，的内接四边形中两组对边的延长线分别相交于点，且，求的度数． 18. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的表达式； （2）点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标的取值范围． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）画出关于原点成中心对称的图形． 20. “靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元？ 21. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 22. 如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材． 素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱高为，抛物线形灯杆的最高点距离地面，且到灯柱的水平距离为，灯泡到地面的距离为．（灯泡大小忽略不计） 素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于对称（C、D分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架． 小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务： （1）求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围） （2）小张同学设计的支架长为，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架的长度是否符合要求，并说明理由． 24. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为． （1）__________； （2）设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值． 26. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上)，与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接，求 （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $