精品解析：2024-2025学年人教版九年级数学上册期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程～第二十三章 旋转）

期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程~第二十三章 旋转）2024-2025学年人教版九年级数学上册 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 是方程的根，则式子的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 3. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. 或 D. 或 4. 关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 若是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A B. C. D. 8. 如图，二次函数图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 当（为实数）时， 9. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B'恰好落在BC边上，，则的度数为（ ） A. 18° B. 20° C. 22° D. 24° 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④方程有实数根．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是____ 12. 平面直角坐标系中，点关于原点旋转后得到的对应点的坐标为_________． 13. 抛物线的顶点坐标为__________． 14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 15. 若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为________． 16. 抛物线（，）经过，，三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程一定有解； ④当时，若点在该抛物线上，则． 其中正确的是_____________（填写序号）． 三、计算题（共8分） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 四、作图题（共4分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，和的顶点都在格点上，回答下列问题： （1）可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到的过程： ； （2）画出绕点B逆时针旋转90°的图形； （3）在（2）中，点C所形成路径的长度为 ． 五、解答题（共46分） 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 20. 设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，有最小值为，求的值； （3）若，求证：． 21. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）如果该超市销售这种商品每天获得元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为 W 元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）每件商品售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）若在销售过程中每一件商品有元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530，试求出 a 的值． 23. 已知抛物线与x轴交于，B，与y轴交于，直线l的解析式为． （1）求抛物线解析式； （2）若直线l与抛物线只有一个公共点P，试求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程~第二十三章 旋转）2024-2025学年人教版九年级数学上册 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 是方程的根，则式子的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值，代入代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，得，再代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的根， ∴把代入， ∴得， 则， 故选：C． 3. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再提公因式x，最后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得，， 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 4. 关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键． 根据题意得到关于k不等式，解不等式，同时，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， 且． 故选：C． 5. 若是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系即可得到x1+x2的值． 【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两根， ∴x1+x2=-3． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 6. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由于二次函数与轴有两个交点，故二次函数对应的一元二次方程中，，解不等式即可求出的取值范围，由二次函数定义可知，． 【详解】解：二次函数的图象和轴有两个交点， ， 解得且． 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是． 故选：D． 8. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 当（为实数）时， 【答案】D 【解析】 【分析】由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故A错误；根据一次函数的图象与轴的交点，得到，求得，故B错误；根据对称轴方程得到，当时，，于是得到，故C错误；根据函数图象可知，当或时，，于是得到，故D正确． 【详解】解：由图象开口向上，可知， 与轴交点在轴的上方，可知， 又对称轴方程为，所以，所以， ，故A错误； 二次函数的图象与轴交于，两点， ， ，故B错误； ， ， 当时，， ， ，故C错误； 二次函数对称轴为直线． 根据函数图象可知，当或时，， ∵， 当（为实数）时， 故D正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键． 9. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B'恰好落在BC边上，，则的度数为（ ） A. 18° B. 20° C. 22° D. 24° 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠，AB＝A，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CA，∠B＝∠AB，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵A＝C， ∴∠C＝∠CA， ∴∠AB＝∠C＋∠CA＝2∠C， ∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A， ∴∠C＝∠，AB＝A， ∴∠B＝∠AB＝2∠C， ∵∠B＋∠C＋∠CAB＝180°， ∴3∠C＝180°−108°， ∴∠C＝24°， ∴∠＝∠C＝24°， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④方程有实数根．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可得，对称轴为直线，顶点为，过点，进而判断各项即可． 【详解】由图得，，对称轴为直线，顶点为，过点， ∴，①正确； ，②错误； ∵顶点为， ∴抛物线与直线没有交点， ∴方程没有实数根，④错误； ∵顶点为，过点， ∴抛物线也经过点， ∴当时，，③正确； 综上，正确的个数是2个， 故选：B． 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， ， 故答案为： 12. 平面直角坐标系中，点关于原点旋转后得到的对应点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知点P和点关于原点对称，根据点关于原点对称点的坐标为解答即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点绕原点O旋转得到点， ∴点P和点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、坐标与图形变化，掌握点关于原点对称点的坐标为是解答的关键． 13. 抛物线的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，直接把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 15. 若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据“一元二次方程的两个根分别为、，则，”进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为x， ∵的一个根为1， ∴， ∴该方程的另一个根为， 故答案为：2． 16. 抛物线（，）经过，，三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程一定有解； ④当时，若点在该抛物线上，则． 其中正确的是_____________（填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①根据图象经过，且抛物线与与轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代得，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出；即可判断②正确； ③根据方程可得，得出，由，即，根据根与系数的关系得出，即，即可判断③正确． ④先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴㧔近的函数值越大，即判断④正确． 【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在的左侧， 中， 抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧， 抛物线的开口一定向下，即， 把代入得：， 即， ， ， ，故①错误； ②， 方程的两个根的积大于0，即， ， ， ， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， 抛物线的顶点在上方或右上方， ，故②正确； ③由原方程可得：， ， ， ， ， 故关于x的一元二次方程一定有解，故③正确； ④， 当时，， 㘯物线对称轴在直线的右侧， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， ，故④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 三、计算题（共8分） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法有开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键． （1）配方法求解即可； （2）因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解:， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， 或， 解得：，． 四、作图题（共4分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，和的顶点都在格点上，回答下列问题： （1）可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到的过程： ； （2）画出绕点B逆时针旋转90°的图形； （3）在（2）中，点C所形成的路径的长度为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，旋转，轴对称，弧长公式，解题时需要注意:平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小． （1）由先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折，即可得到（答案不唯一）； （2）按照旋转中心、旋转角度以及旋转方向，即可得到绕点B逆时针旋转图形； （3）依据点C所形成的路径为扇形的弧，利用弧长计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；或先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折，即可得到．（答案不唯一）． 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 点C所形成的路径的长为， 故答案为：． 五、解答题（共46分） 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟记相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． 小问1详解】 解：由题意得：且 解得：且 【小问2详解】 解：由题意得： ∵， ∴， 解得：（舍） 经检验，是原方程的解 ∴ 20. 设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，有最小值为，求的值； （3）若，求证：． 【答案】（1）； （2）或； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（）利用表格数据以及待定系数法求解即可； （）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可； （）利用二次函数的解析式求出，结合二次函数的对称轴进而得到，利用一次函数的性质即可求证； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由表可知，抛物线经过两点， ∴当或时，, ∴抛物线的对称轴为直线, ∴，即， ∴ ∵当时，y有最小值为， ∴①当，时，函数有最小值， ∴，解得：； ②当，则或时，函数y取得最小值， ∴，； 综上，的值或． 【小问3详解】 证明：由表和二次函数可得， ，，， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的值随的减小而增大， ∴当时，，即． 21. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）如果该超市销售这种商品每天获得元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）60 （3）销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润5000元 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，即可求解； （3）由题意得：，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， 故与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：或150(舍去150)， ∵规定每千克售价不能低于元，且不高于元． ∴舍去， 故：该商品的销售单价为60元； 【小问3详解】 由题意得：， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大，而， ∴当时，w由最大值，此时， ∴销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润5000元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为 W 元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）若在销售过程中每一件商品有元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530，试求出 a 的值． 【答案】（1） （2）当售价定为每件65元，每个月的利润最大，最大的月利润是3125元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． （1）由题意得y与x的函数关系式即可； （2）由题意得与的解析式为：，即可求解； （3）由题意得：，函数的对称轴为直线，再根据二次函数性质即可求解． 【小问1详解】 由题意得： y与x的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意得：， ， 当时，有最大值3125， ， 当售价定为每件65元，每个月的利润最大，最大的月利润是3125元； 【小问3详解】 由题意得：， 函数的对称轴为直线， ， ， 当售价每件不高于67元， ， ，在对称轴左侧，随x增大而增大， 当时，W有最大值，为2530，此时对称轴为直线， ， 解得：， ． 23. 已知抛物线与x轴交于，B，与y轴交于，直线l的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线l与抛物线只有一个公共点P，试求的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，抛物线与直线的交点，根的判别式，是解题的关键． （1）把点，代入抛物线解析式，构造方程组求解即可； （2）由抛物线与直线l：只有一个公共点P，可得，即，得到，解得，从而得到直线l的解析式，进而求得点P的坐标为，根据面积公式即可解答． 【小问1详解】 ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ∵抛物线与直线l：只有一个公共点P， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为，方程为， 解得，， 则， ∴， ∵时，，或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$