4.6　利用相似三角形测高课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 6　利用相似三角形测高 第四章　 图形的相似 - 6　利用相似三角形测高 探究与应用 课堂小结与检测 第四章　图形的相似 探究　利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度 [操作发现] 方法1　利用阳光下的影子 如图4-6-1,每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处,其他人分为两部分,一部分同学测量该同学 的影长和身高;另一部分同学测量同一时刻 旗杆的影长.根据测量数据,你能求出旗杆的 高度吗?说明你的理由. 图4-6-1 探究与应用 解: 能.理由:同一时刻太阳光下,.在同一时刻,对于都垂直于地面的两个物体来说,它们在阳光下的影长之比等于它们的高度之比. 探究与应用 方法2　利用标杆 如图4-6-2,每个小组选一名同学作为 观测者,在观测者与旗杆之间的地面 上直立一根高度适当的标杆,观测者 适当调整自己所处的位置,使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上,这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离,以及观测者的脚到标杆底端的距离,然后测出标杆的高和观测者的眼睛离地面的高度. 图4-6-2 探究与应用 根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗?说明你的理由. 解: 能.理由:. 由于人、标杆及被测物体均与地面垂直, 因此三者平行,可构造相似三角形. 探究与应用 方法3　利用镜子的反射 如图4-6-3,每个小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回移动,直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合. 图4-6-3 探究与应用 (1)需要测量哪些数据? 解: 需要测量的数据:观测者的眼睛离地面的高度;观测者的脚到镜子上标记位置的距离;旗杆底端到镜子上标记位置的距离. 图4-6-3 探究与应用 (2)如何求出旗杆的高度?说明你的理由. 图4-6-3 解:= . 理由:由于入射角等于反射角,且等角的余角相等,及人与被测物体都与地面垂直,可构造出相似三角形. 探究与应用 [对比分析] 上述几种测量方法各有哪些优缺点? 解: 方法1:优点表现在比较准确;不足表现在需要外界条件,即需要太阳光,没有太阳光就无法完成. 方法2:优点表现在可以随时随地进行;不足表现在单凭人的眼睛的视线很难准确地把握,另外测量的数据较多,所以这种方法误差较大. 方法3:优点表现在可以随时随地进行,而且测量的数据较少;不足表现在由人的眼睛找点难免存在误差. 探究与应用 学 方法 (1)利用阳光下的影子测量物体的高度,通常根据同一时刻,同一地点,物高与影长成　　　　,构造比例式.  (2)借助标杆测量物体的高度,通常适当作　　　线构造相似三角形.  (3)借助镜子的反射测量物体的高度,实际是借助入射角 　　　　反射角原理构造相似三角形.  比例 垂 等于 探究与应用 应用　利用相似三角形测量物体的高度 例1 在某一时刻,测得一根高为1.2 m的竹竿的影长为3 m,同时测得一栋楼的影长为45 m,那么这栋楼的高度为 　 m.  18 探究与应用 例2 如图4-6-4,直立在点B处的标杆AB=2.5 m,站立在点F处的观测者从点E看到标杆顶A,树顶C在同一直线上(点F,B,D也在同一直线上).已知BD=10 m,FB=3 m,人的眼睛与地面的高度EF=1.7 m,求树的高度DC.(结果精确到0.1 m) 图4-6-4 探究与应用 解:过点E作EH⊥CD交CD于点H,交AB于点G,如图所示. 由已知得EF⊥FD,AB⊥FD,CD⊥FD, ∴EF∥AB∥CD. ∵EH⊥CD,∴EH⊥AB. ∴四边形EFDH为矩形,四边形EFBG为矩形. ∴EF=GB=DH=1.7,EG=FB=3,GH=BD=10. ∴AG=AB-GB=2.5-1.7=0.8. 探究与应用 ∵AG∥CH, ∴易得△AEG∽△CEH.∴. ∵EH=EG+GH=3+10=13, ∴CH=≈3.5. ∴CD=CH+DH≈3.5+1.7=5.2, 即树的高度DC约为5.2 m. 探究与应用 例3 如图4-6-5是小李设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD, CD⊥BD,且测得AB=1.1米,PB=1.9米,PD=19米,求该古城墙CD的高度. 图4-6-5 探究与应用 解:根据题意,得∠APB=∠CPD. ∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABP=∠CDP=90°. ∴△ABP∽△CDP. ∴,即, 解得CD=11(米). 即该古城墙CD的高度为11米. 探究与应用 利用相似三角形的性质解决实际问题的关键是能够找出或构造出相似三角形,构造相似三角形常用的方法有“三线”:平行线、作垂线、作延长线.对于不宜测量的长度或高度,可以用易测量的对应线段通过比例来计算. 知 关键 探究与应用 [本课时认知逻辑] 利用相似 三角形测 量高度 测量物体高度 测量 方法 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 建立相似三 角形模型 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图4-6-6,身高1.6 m的小波(A'B')站在操场上,测得其影长B'C'=2 m,同时测得旗杆AB的影长BC=18 m,则旗杆AB的高度为　　　　m.  图4-6-6 14.4 课堂小结与检测 2.如图4-6-7,小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图,在点P处水平放置一面平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD, AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该城墙CD的高度为 　　　　.  图4-6-7 8米 课堂小结与检测 3.小星测量如图4-6-8所示大楼的高度MN,在距离大楼39 m的点B处竖立一根长为3 m的标杆AB,小星调整自己的位置,使得他直立时眼睛C,标杆顶点A和大楼顶点M三点共线.已知BD=1 m,小星的眼睛距离地面高度CD为1.7 m,求大楼的高度. 图4-6-8 课堂小结与检测 解:如图,过点C作CG⊥MN,垂足为G,交AB于点H. 易得四边形CDBH,四边形CDNG是矩形, ∴CH=BD,CG=DN,CD=BH=NG. ∵∠AHC=∠MGC=90°,∠ACH=∠MCG, ∴△CAH∽△CMG, H G ∴,即,∴MG=52, ∴MN=MG+GN=52+1.7=53.7(m). ∴大楼的高度为53.7 m. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$