4.5　相似三角形判定定理的证明课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 *5　相似三角形判定定理的证明 第四章　 图形的相似 - *5　相似三角形判定定理的证明 探究与应用 课堂小结与检测 第四章　图形的相似 探究　相似三角形判定定理的证明方法 [推理证明] 定理1　两角分别相等的两个三角形相似 1.已知:如图4-5-1,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 图4-5-1 探究与应用 证明: 如图,在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E, 则∠ADE=∠B,∠AED=∠C, (平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). 探究与应用 过点D作AC的平行线,交BC于点F, 则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). ∴. 探究与应用 ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B', ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. ∴.∴. 探究与应用 定理2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 2.已知:如图4-5-2,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 图4-5-2 探究与应用 证明: 如图,在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴. 探究与应用 ∵,AD=A'B', ∴.∴. ∴AE=A'C'. 而∠A=∠A', ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 探究与应用 定理3　三边成比例的两个三角形相似 3.已知:如图4-5-3,在△ABC和△A'B'C'中,. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 图4-5-3 探究与应用 证明: 如图,在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE. ∵,AD=A'B',AE=A'C', ∴. 探究与应用 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴. 又,AD=A'B', ∴.∴. ∴DE=B'C'.∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 探究与应用 证明文字命题的步骤 (1)根据命题画出图形; (2)根据图形和命题写出已知和求证; (3)分析证明思路,写出证明过程. 再 温故 探究与应用 应用　灵活应用相似三角形的判定定理 例 如图4-5-4,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E,F是AB的中点,连接EF交AD于点G. (1)求证:AD2=AB·AE; 解:证明:∵AD⊥BC,DE⊥AC, ∴∠ADC=∠AED=90°. 又∵∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD. ∴AD∶AC=AE∶AD.∴AD2=AC·AE. 又∵AB=AC,∴AD2=AB·AE. 图4-5-4 探究与应用 (2)若AB=5,AE=4,求DG的长. 解:如图,连接DF. 图4-5-4 由(1)得AD2=AB·AE, ∴AD2=AB·AE=5×4=20. ∴AD=2. ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD. 探究与应用 又∵F是AB的中点, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF=AC=,DF∥AC. ∴△DFG∽△AEG. ∴.则. ∴DG=AD=×2. 探究与应用 理 思路 判定两个三角形相似的基本思路 (1)若有一对等角,则可找另一对等角,或证明夹这对等角的两边成比例. (2)若有两边成比例,则可找夹角相等,或证明三边成比例. (3)若已知两个三角形均为等腰三角形,则可找顶角相等,或找底角相等,或证明三边成比例. 探究与应用 与相似三角形有关的动点问题 如图4-5-5,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始,沿AB边以1 cm/s的速度向点B运动;点Q从点B开始,沿BC边以2 cm/s的速度向点C运动.当点P运动到点B时,运动停止.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,几秒后,以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似? 【延伸拓展】 图4-5-5 探究与应用 解:设x s后,以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似,此时,AP=x, BP=6-x,BQ=2x. 因为∠B=90°,所以分两种情况讨论: ①若△BPQ∽△BAC,则, 即, 解得x=3; 探究与应用 ②若△BPQ∽△BCA,则, 即, 解得x=1.2. 综上所述,1.2 s或3 s后,以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似. 探究与应用 学 方法 解决与相似三角形有关的动点问题,通常设运动的时间为t,用含有t的代数式表示相关线段的长度,根据三角形相似对应边成比例列出算式,解方程得到结论. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 给出证 明过程 相似三角形 的判定定理 的证明 画图 写出已知， 求证 计算或 证明 应用定理 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图4-5-6,在四边形ABCD中,已知∠ADC=∠BAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是 (　　) A.CA平分∠BCD B. C.AC2=BC·CD D.∠DAC=∠ABC 图4-5-6 C 课堂小结与检测 2.如图4-5-7,在△ABC中,BC>BA,D是边BC上的一个动点(点D与点B,C不重合),若再增加一个条件,就能使△ABD与△ABC相似,则这个条件可以是            　　　 　　 　　.  图4-5-7 ∠BAD=∠C或∠BDA=∠BAC或 (答案不唯一,写出一个即可) 课堂小结与检测 3.如图4-5-8,AD与BC交于点O,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F,BO=1,CO=3,AO=,DO=. (1)求证:∠A=∠D; 图4-5-8 证明:∵BO=1,CO=3,AO=,DO=, ∴. 又∵∠AOB=∠COD, ∴△OAB∽△ODC.∴∠A=∠D. 课堂小结与检测 (2)若AE=BE,求证:CF=DF. 图4-5-8 证明:∵∠A=∠D, ∴AB∥CD. ∴易得△OAE∽△ODF,△OBE∽△OCF. ∴,. ∴. ∵AE=BE,∴CF=DF. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$