精品解析： 河北省沧州市青县第六中学2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试卷2

2024-2025年上学期青县第六中学九年级数学期末模拟试卷2 一、选择题(共12题，共36.0分) 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线y=2（x-2）（x+6）化成顶点式，即可得到对称轴． 【详解】解：抛物线y=2（x-2）（x+6）=2（x2+4x-12）=2（x+2）2-32， 因此抛物线对称轴为直线x=-2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，化为顶点式是解题的关键． 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. x+＝1 B. x（x+3）＝5 C. x3+2x＝0 D. 2x2+xy﹣3＝0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．对方程进行整理得：x2+3x﹣5＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就是一元二次方程． 3. 一元二次方程一次项系数是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一次项系数．根据，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的一次项系数为， 故选：D． 4. 如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数． 【详解】解：连接AD，如图， AB为直径， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 5. 香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了一批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意即可直接列出方程． 【详解】设这种香水梨的售价上涨了x元， 依题意可列方程为：， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键． 6. 如图，若绕点按逆时针方向旋转后能与重合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 7. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握顶点式是解题的关键． 8. 如图，的半径为5，弦的长为8，M是弦上的一个动点，则线段的长的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，利用垂径定理、勾股定理计算即可． 【详解】如图，连接， ∵垂线段最短，半径为5，弦的长为8， ∴当时，最小， 根据垂径定理，得，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 9. 如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A和点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OD，AD，由题意得，，，进而可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接OD，AD， ∴， ∵DC⊥AO， ∴，， ∴， ， ， ∴， ， ； 故选A． 【点睛】本题主要考查扇形面积，熟练掌握求不规则面积的方法及扇形面积计算公式是解题的关键． 10. 如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点O、的中点E、的中点F，连接，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，则，，再根据等腰三角形的性质得，则，于是根据圆周角定理得到点M在以为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形为正方得到，所以M点的路径为以为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长． 【详解】解：取的中点O、的中点E、的中点F，连接，如图， ∵在等腰中，， ∴， ∴在上， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴点M在以为直径的圆上， 点P在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，得四边形为正方形，， ∴M点的路径为以为直径的半圆， ∴点M运动的路径长． 故选：C． 【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆． 11. 如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点C运动到点时，线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，连接，根据线段扫过的面积，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∵，， ∴ ∴均为等边三角形 ∴ ∴， ∴线段扫过的面积 故选：C 12. 如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．想办法求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J． ∵，， ∴，， ∵，， ∴． 同法可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 过点作交的延长线于T． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 根据对称性可知，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，翻折变换，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题(共4题，共12.0分) 13. 如图，在方格中画着两艘完全一样的小船，左边小船向右平移了_____格可以来到右边小船位置． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由图形中小船上对应点平移的距离进而得出答案，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，左边小船向右平移了格可以来到右边小船位置， 故答案为：6． 14. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长． 【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OA． 根据题意得：OD=OA=1cm， 再根据勾股定理得：AD=cm， 根据垂径定理得：AB=2cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理以及垂径定理．注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解． 【详解】解：∵关于x一元二次方程的一个根为， ∴ 解得：， 设原方程的另一个根为，则， ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16. 九年（1）班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．则两位女生同时当选正、副班长的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列举出所有情况，让两位女生同时当选正、副班长的情况数除以总情况数即为所求的概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中两位女生同时当选正、副班长的情况有种， ∴两位女生同时当选正、副班长的概率为， 故答案为：． 三、解答题(共8题，共72.0分) 17. 如图，内接于是的直径，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．如图所示，连接，由圆周角定理得到，由平角的定义可得，则由圆周角定理可得． 【详解】解：如图所示，连接， 是的直径，， ， ， ． 18. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． （1）求二次函数的解析式； （2）设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 【答案】（1） （2）①存在，P的坐标为，，；②和 【解析】 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可． 【小问1详解】 解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； 【小问2详解】 解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，过点C作直线于E，并延长使，则点与点关于直线对称，过点作， 设，直线的解析式为，则， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， ∴直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②由（1）可得：，， ∴，， ∴， （Ⅰ）如图1，当B为直角顶点时，过B作交x轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，即， （Ⅱ）如图2，当为直角顶点时，作，连接， 将与联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 则， 故点坐标为； （Ⅲ）如图3，当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，设 ∵， ∴， ∵， ∴ 得：， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 19. 如图，是的直径，点E为弧的中点，、交于点D，过A的切线交的延长线于F． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是直径，得到，由题知，经过角的等量代换得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到，即有，再证明，问题得解； （2）连接、，根据结合（1）所得，证明，由得到，设，可解得，在中解直角三角形可得，，由此计算得，， 问题得解． 【小问1详解】 连接， ∵是直径， ，即， 是切线， ， ， ， 又， ， ， ∵，，， ∴， ； 【小问2详解】 连接、， ， ， ，即， ，， ， ， 设，， 利用勾股定理可得：， ，， 再设，则，， 在中，，， ∴， 又， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质，圆的切线，解直角三角形；熟悉相关的性质，熟练地在图形中进行角的转换、解直角三角形是本题的关键． 20. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE＝ED； （2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π﹣． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，于是得到结论； （2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠ABC=30°，即可求得∠AOC=∠OCB+∠ABC=60°，根据垂径定理得出，从而得出∠COD=∠AOC=60°，求得∠AOD=120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD， 又∵OC为半径， ∴AE＝ED， （2）解：连接CD，OD， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°， ∵OC⊥AD， ∴， ∴∠COD＝∠AOC＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵AB＝6， ∴BD＝3，AD＝3， ∵OA＝OB，AE＝ED， ∴OE＝＝， ∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 21. 若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？ 【答案】m=-1 【解析】 【分析】常数项为0，即，再根据一元二次方程二次项系数不等于零，即可求出的值． 【详解】解∶由题意得，时， 即时，一元二次方程的常数项为0． 【点睛】一元二次方程的一般形式：，是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 22. 已知二次函数y＝x2+4x+3． (1)用配方法将y＝x2+4x+3化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； (2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)y;(2)图象见解析 【解析】 【详解】试题分析：(1)根据完全平方式的特点a2±2ab+b2,把一般式转化为顶点式. (2)画图象的步骤:列表、描点、连线; 解：（1） （2） 23. 如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． （1）t为何值时，四边形为矩形？ （2）当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？ （3）如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？ 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）四边形为矩形，也就是，分别用含t的代数式表示，列方程求解即可； （2）利用切线的性质定理以及勾股定理得出，进而求出即可； （3）主要考虑有四种情况，一种是P在上；一种是P在上时．一种是P在上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据题意，当时，四边形为矩形． 此时：， 解得． 答：t为时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图所示：当切圆于点E，过点Q作于点F， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）或 故t为时，直线与以为直径的圆相切； 【小问3详解】 解：当时，与外切． ①如果点P在上运动．如图3 只有当四边形为矩形时，． 由（1）得； ②如果点P在上运动，如图 此时，则，， ∴与外离； ③如果点P在上运动，且点P在点Q的右侧，如图． 可得，，当时，与外切． 此时，， 解得； ④如果点P在上运动，且点P在点Q的左侧，如图． 当时，与外切． 此时，， 解得 ， ∵点P从A开始沿折线移动到D需要，点Q从C开始沿边移动到D需要，而， ∴当t为，，时，与外切． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，矩形的判定与性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 24. 如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 【答案】（1）证明见解析； （2）在旋转过程中点扫过路径的长为． 【解析】 【分析】（）由四边形是菱形，，则，由旋转性质可知，，则，最后根据即可求证； （）连接交与，根据菱形的性质可得，，，由角所对直角边是斜边的一半得，再由勾股定理得，利用弧长公式即可即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 小问2详解】 解：连接交与， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转性质可知：， ∴弧的长为， ∴在旋转过程中点扫过路径的长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，弧长公式，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年上学期青县第六中学九年级数学期末模拟试卷2 一、选择题(共12题，共36.0分) 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. x+＝1 B. x（x+3）＝5 C. x3+2x＝0 D. 2x2+xy﹣3＝0 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 4. 如图，AB为直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了一批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若绕点按逆时针方向旋转后能与重合，则（ ）． A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，的半径为5，弦的长为8，M是弦上的一个动点，则线段的长的最小值为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A和点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是（ ） A. B. C. D. 2 11. 如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点C运动到点时，线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A. 4 B. C. D. 二、填空题(共4题，共12.0分) 13. 如图，在方格中画着两艘完全一样的小船，左边小船向右平移了_____格可以来到右边小船位置． 14. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 16. 九年（1）班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．则两位女生同时当选正、副班长的概率为_____． 三、解答题(共8题，共72.0分) 17. 如图，内接于是的直径，若，求的度数． 18. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． （1）求二次函数解析式； （2）设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 19. 如图，是的直径，点E为弧的中点，、交于点D，过A的切线交的延长线于F． （1）求证：； （2）若，求的值． 20. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE＝ED； （2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积． 21. 若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？ 22. 已知二次函数y＝x2+4x+3． (1)用配方法将y＝x2+4x+3化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； (2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象． 23. 如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． （1）t为何值时，四边形为矩形？ （2）当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径圆相切？ （3）如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？ 24. 如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$