4.2　平行线分线段成比例 课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 2　平行线分线段成比例 第四章　 图形的相似 - 2　平行线分线段成比例 探究与应用 课堂小结与检测 第四章　图形的相似 探究一　平行线分线段成比例的基本事实 [操作发现] 如图4-2-1,小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于格点A1,A2,A3,B1,B2,B3. 图4-2-1 探究与应用 (1)计算与,与,与的值,你有什么发现? 图4-2-1 解:,,,,,. 发现:,, . 探究与应用 (2)将l2向下平移到如图4-2-2的位置,直线m,n与l2的交点分别为A2,B2,在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将l2平移到其他位置呢? 图4-2-2 解:在问题(1)中发现的结论仍然成立.将l2平移到其他位置,在问题(1)中发现的结论也成立. 探究与应用 (3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗? 解:在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的对应线段成比例. 探究与应用 图4-2-3 [概括新知] 符号语言:如图4-2-3,当l3∥l4∥l5时, 有=　　　,=　　　,=　　　　. 平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所 截,所得的　　 　　成比例.  对应线段 　 　　 　 探究与应用 由平行线得到成比例线段的比例式时,把对应的线段写在对应位置.这里应该特别注意的是被截直线上的线段成比例,而不是平行线上的线段. 防 易错 探究与应用 应用一　利用平行线分线段成比例的基本事实求线段的长 例1 如图4-2-4,已知直线l1∥l2∥l3,分别交直线l4,l5于点A,B, C,D,E,F. (1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长; 图4-2-4 解:∵直线l1∥l2∥l3, ∴. ∴DE=EF=×12=6. 探究与应用 (2)如果AB=AC,DF=9,求EF的长. 图4-2-4 解:∵AB=AC, ∴.∴. ∵l1∥l2∥l3, ∴,即,解得EF=. 探究与应用 利用平行线分线段成比例这个基本事实求线段的长时,先确定图中的平行线,结合待求线段和已知线段找出一个含有它们的比例关系,构造方程并解方程,从而求出待求线段的长. 理 思路 探究与应用 探究二　平行线分线段成比例的基本事实的推论 [操作发现] 如图4-2-5,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2, B3,过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于点C2,C3.图中有哪些成比例线段? 图4-2-5 探究与应用 解:,,,,, ,,,. 探究与应用 [概括新知] 平行线分线段成比例的基本事实的推论:平行于三角形一边 的直线与其他两边相交,截得的对应线段　　　　.  图4-2-6 符号语言:如图4-2-6,在△ABC中,点D,E分 别在AB,AC上,DE∥BC,则, ,. 成比例 探究与应用 应用二　利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线段的长 例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC. (1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少? 图4-2-7 解:∵EF∥BC,∴. ∵AE=7,EB=5,FC=4, ∴AF=. 探究与应用 (2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少? 图4-2-7 解:∵EF∥BC,∴. ∵AB=10,AE=6,AF=5, ∴AC=. ∴FC=AC-AF=-5=. 探究与应用 添加平行线求线段的比 如图4-2-8,在△ABC中,点D在BC上,F是AD的中点,连接CF并延长交AB于点E,已知CD∶BD=3∶2,求的值. 【延伸拓展】 图4-2-8 解:如图,过点D作DG∥CE交AB于点G. ∵DG∥CE, ∴. 探究与应用 设BG=2x,则EG=3x. ∵F是AD的中点, ∴AF=FD. ∵EF∥DG, ∴=1. ∴AE=EG=3x. ∴. 探究与应用 添加平行线求线段的比的思路 (1)构建平行关系:在三角形中通常过某一点作某一边或某一条重要线段的平行线; (2)列比例式并求解:根据平行线分线段成比例的基本事实(或推论)列出比例式,运用方程思想求解. 理 思路 探究与应用 [本课时认知逻辑] 实例 平行线分线段成 比例的基本事实 计算 探究 图形变换 分析探究 基本事实 的推论 应用 应用 计算或证明 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图4-2-9,AD∥BE∥CF,若AB=2,BC=4,EF=5,则DE的长是 (　　) A.6 B. C. D. 图4-2-9 C 课堂小结与检测 2.如图4-2-10,已知AB∥CD∥EF,,BE=15,那么CE的长为　　　　.  图4-2-10 6 课堂小结与检测 3.如图4-2-11,BC∥DE,AD=3,AE=4,AB=9,则CE=　　　　.  图4-2-11 8 课堂小结与检测 4.如图4-2-12,在△ABC中,D,E,F是其边上的点,且DE∥AC, AE∥DF,,BF=6 cm,求EF和CF的长. 图4-2-12 解:∵AE∥DF,∴. ∵,BF=6 cm,∴EF=4 cm, ∴BE=BF+EF=6+4=10(cm). ∵DE∥AC,∴,即, ∴CE= cm,∴CF=CE+EF=(cm). 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$