精品解析：2024--2025学年沪科版九年级上学期期中诊断测试数学试卷（二）

2024-2025学年九年级沪科版上学期期中诊断测试 数学试卷（二） 一、单选题 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A B. C. D. 2. 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A. = B. y＝ C. y=k D. y=k2x 3. 抛物线与x轴交点个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若线段2cm，4cm，，10cm成比例，则等于（ ） A. B. 20cm C. 5cm D. 8cm 6. 如图，与相交于点O，，若，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 7. 如图，在矩形中，E 是边的中点，连接交对角线 于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（　　） A. y=（x＞0） B. y=-（x＞0） C. y=（x＜0） D. y=-（x＜0） 10. 如图，在正方形中，M，N分别为，上一点，且，连接，，交于点P，Q，R分别为，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为_________． 12. 已知：如图，四边形是菱形，，且．则长______． 13. 如图是二次函数的图象，若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围是_______． 14. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 三、解答题 15. 如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标． 16. 已知二次函数． （1）当时，求该二次函数图象的对称轴． （2）当时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由． 17. 如图，矩形的边，，在上取一点，在边上取一点，使成直角，设 ， ，试以为自变量，写出与的函数关系式．并求为何值时，有最大值或最小值？ 18. 已知抛物线的部分图象如图所示． （1）求，的值； （2）写出当时，的取值范围． 19. 如图，已知中，，，，，点P在上，（与点不重合），Q点在上． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长． （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 20. 如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点A的坐标为． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在轴上，当时，求点的坐标． 21. 学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间x（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通． （1）求该二次函数的解析式和k的值； （2）“拥挤状态”持续时间是否超过20分钟？请说明理由． 22. 综合探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接、． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）连接交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为中点时，　 　； （3）如图2，当轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由． 23. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，对角线AC、BD交于点O，且点O是AC、BD的中点． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）点E、F分别在线段BD和AD上，连接AE，EF，且∠AEF＝90°，AB＝5，AD＝12． ①当AE＝EF时，求sin∠AEB的值； ②当△ABE是以BE为腰的等腰三角形时，求点E到AD边的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级沪科版上学期期中诊断测试 数学试卷（二） 一、单选题 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最短的线段和最长的线段相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解∶A．， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选∶B． 2. 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A. = B. y＝ C. y=k D. y=k2x 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：A、一定是二次函数； B、自变量x在分母上，不是二次函数； C、当k＝0时不是二次函数； D、当k≠0时是正比例函数，当k＝0时是常函数． 故选A． 点睛：本题考查二次函数的定义，形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）是二次函数． 3. 抛物线与x轴的交点个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】令y=0，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 详解】解：令＝0， ∵Δ＝， ∴抛物线与x轴的交点个数是1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握当方程>0时，方程有两个不同实数根，则函数与x轴有两个交点；当方程=0时，方程有两个相同实数根，则函数与x轴有一个交点；当方程<0时，方程没有实数根，则函数与x轴没有交点． 4. 如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线知，，∴A正确； B、由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误； C、由抛物线可知，，由直线知，，∴C错误； D、由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键． 5. 若线段2cm，4cm，，10cm成比例，则等于（ ） A. B. 20cm C. 5cm D. 8cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的定义，即可列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得x=5cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段的定义，注意a、b、c、d是成比例线段，即，要理解各个字母的顺序． 6. 如图，与相交于点O，，若，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质可以得到，由此即可求解． 【详解】解：∵与相交于点O，， ∴， ∵，＝8， ∴， ∴＝6， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，属于基础题型，熟练掌握比例线段的对应关系是解题的关键． 7. 如图，在矩形中，E 是边的中点，连接交对角线 于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据矩形可得，从而有，再根据性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵E 是边的中点，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得出，从而得出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小， ， 解得，则m可以是0. 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当时，都随的增大而减小；当时，都随的增大而增大． 9. 如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（　　） A. y=（x＞0） B. y=-（x＞0） C. y=（x＜0） D. y=-（x＜0） 【答案】D 【解析】 【详解】设y= 则有：1=，解得：k=-1， 所以解析式：y= （x＜0）， 故选D. 10. 如图，在正方形中，M，N分别为，上一点，且，连接，，交于点P，Q，R分别为，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可求出，，再根据勾股定理求出BN，进而求出，再求出，由相似三角形的判定和性质进行计算即可． 【详解】解：在正方形中 ，， 又， ， ， ， ， 即， Q，R分别为，的中点，，， ，， 在中，，， ， ， 在中， ， ，， ， ， 即， ， 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提． 二、填空题 11. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为． 故答案为： 12. 已知：如图，四边形是菱形，，且．则的长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定定理与性质，可以根据菱形的性质结合相似进行解答；根据菱形的性质，可以得到，； 根据相似三角形的判定定理，可以得到，由此可得，至此便可以求出的长度． 详解】解：∵，且， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 13. 如图是二次函数的图象，若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象判断一元二次方程根的情况；将问题转化为平移个单位后与轴有交点，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得的开口向下，顶点的纵坐标为， ∴当抛物线与x轴有两个公共点，即将向下平移个单位后与轴有两个交点， ∴ 即 故答案为：． 14. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 三、解答题 15. 如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标． 【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【解析】 【分析】先计算直线与两个坐标轴的交点A， B的坐标，分两种情况讨论，若△AOB∽△COB，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标；若△AOB∽△BOC，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4，∴点C坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则，即，解得OC＝1，∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标、分类讨论法、相似三角形的性质，是常见典型的考点，熟练掌握相关知识是解题关键． 16. 已知二次函数． （1）当时，求该二次函数图象的对称轴． （2）当时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由． 【答案】（1）直线； （2）第一象限，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）当时，，根据与轴的交点坐标可得其对称轴； （2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为，，结合得出，，且二次函数的开口方向向下，画出大致图象，即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， 令，则， 即抛物线与轴的交点坐标为， ∴二次函数的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：图象顶点在第一象限； 理由如下： 由题知二次函数与x轴的交点坐标为，； ∵， ∴，，且二次函数的开口方向向下； ∴二次函数的大致图象如图： 所以二次函数的顶点在第一象限． 17. 如图，矩形的边，，在上取一点，在边上取一点，使成直角，设 ， ，试以为自变量，写出与的函数关系式．并求为何值时，有最大值或最小值？ 【答案】，当时，有最大值． 【解析】 【分析】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值． 根据相似三角形的判定定理推知，然后利用相似三角形的对应边成比例知，即，由此可以求得y与x的函数关系式，根据此函数式来求y的最值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ， ∴，即， ∴，即， ∴当时，y有最大值． 18. 已知抛物线的部分图象如图所示． （1）求，的值； （2）写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，增减性，熟练掌握性质是解题的关键． （1）把和分别代入解析式，确定b，c的值即可． （2）根据对称性，确定抛物线与x轴的另一个交点，根据数形结合思想，解答即可． 【小问1详解】 把和分别代入得 ， 解得． 【小问2详解】 根据题意，得抛物线的解析式为 ， ∴抛物线对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴， 解得， ∵， ∴． 19. 如图，已知中，，，，，点P在上，（与点不重合），Q点在上． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长． （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先证明再求解再利用相似三角形的性质可得答案； （2）先利用的周长与四边形的周长相等，求解，再证明 可得：从而可得 于是可得答案. 【详解】解：（1） ∵， （负根舍去） （2）∵的周长与四边形的周长相等，   ， 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方. 20. 如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点A的坐标为． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在轴上，当时，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）分别把点A的坐标代入一次函数与反比例函数解析式求解即可； （2）联立两函数解析式，解方程组即可得到点B的坐标，再求得直线与y轴的交点坐标，然后利用坐标与图形性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵两函数图象相交于点， ∴，， 解得，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得，， 所以，点B的坐标为， 令，则， 即直线与y轴的交点为， 设，则有， ∴或4， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、坐标与图形，把交点的坐标代入解析式计算即可，比较简单，注意两函数的交点可以利用联立两函数解析式解方程的方法求解． 21. 学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间x（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通． （1）求该二次函数的解析式和k的值； （2）“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由． 【答案】（1）， （2）超过，理由见解析 【解析】 【分析】(1)设该二次函数的解析式为，把点代入，即可求得二次函数的解析式；把点向左平移4个单位，得，把该点的坐标代入，即可求得k的值； (2)由可得，再由，得，可得反比例函数的图象向右平移4个单位得到的时间，再由，即可判定． 【小问1详解】 解：设该二次函数的解析式为， 把点代入，得，解得： ∴所求二次函数的解析式为 把点向左平移4个单位，得， 代入得：； 【小问2详解】 解：超过20分钟， 理由如下： 由解得：，（舍去）， 由，解得：， ， 而， 所以“拥挤状态”持续的时间超过20分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，待定系数法求二次函数与反比例函数的解析式，图象的平移，求出函数解析式是关键. 22. 综合探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接、． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）连接交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为中点时，　 　； （3）如图2，当轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形，符合条件的G点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令求出轴交点坐标； （2）先确定出直线 解析式为设出点E的坐标，表示出点，而点D在直线上，列出方程 求出，从而得出结论； （3）先求出点的坐标，再分两种情况计算Ⅰ、当时，判断出，得出比例式求解即可，Ⅱ、当时，判断出，得到比例式计算． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴ ∴ 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∴， ∵点D为中点， ∴，， 设直线解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线解析式为 ∵点D在直线上， ∴ ∴ (舍)或， ∴ ∴，， 故答案为； 【小问3详解】 解：存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形， 理由：连接，，作，轴， ∵轴， ∴， 把代入 ∴ ∴ (舍)，或， ∴， ∴， Ⅰ、如图1， 当 时， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 设点， ∴， ， ∴ ∴（舍去）或 ∴； Ⅱ、如图2， 当时， ∴， ∵， ∴∠NAG=∠AEP， ∵， ∴， ∴ 设点， ∴， ∵ ∴ （舍去），或 ∴． 符合条件的G点的坐标为或 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造相似三角形是解题的关键． 23. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，对角线AC、BD交于点O，且点O是AC、BD的中点． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）点E、F分别在线段BD和AD上，连接AE，EF，且∠AEF＝90°，AB＝5，AD＝12． ①当AE＝EF时，求sin∠AEB的值； ②当△ABE是以BE为腰的等腰三角形时，求点E到AD边的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可； （2）①如图1中，过点E作ET⊥AB于T，过点A作AH⊥BD于点H，求出AH，AE，可得结论；②分两种情形：BA= BE， AE= EB，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：∵OA= OC，OB= OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ AB⊥AD， ∴∠BAD= 90°， ∴四边形ABCD是矩形； 【小问2详解】 ①如下图1， 过点E作ET⊥AB于T，过点A作AH⊥BD于点H， ∵∠BAD= 90°，AB= 5，AD= 12， ∴ ∵АВ· AD= BD·АН， ∴AH=， ∵AЕ= EF， AE⊥ EF， ∴∠EAF= ∠AFE= 45 °， ∴∠TAE= 90°， ∵ET⊥AB， ∴∠ATE= 90°， ∴∠TAE= ∠TEA = 45°， ∴AT= TE， 设AT= TE= x， ∵ET//AD， 得出， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如下图2， 当BE= BA = 5时，过点E作EJ⊥AB于点J， ∵EJ// AD， 得出， ∴ ， ∴， ∴， ∴AJ=AB-BJ=5-=， ∴点E到AD的距离为； 如下图3中， 当AE= BE时，点E与O重合，过定点E作EK⊥AD于点K， ∵OA= OD， OE⊥AD， ∴AK=DK， ∵OB= OD， ∴OK=AB=， ∴点E到AD的距离为， 综上所述，满足条件的点E到AD的距离为或． 【点睛】本题考查了四边形综合知识，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程的解法，解直角三角形，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$