四川省成都石室中学2024-2025学年高一上学期第9周数学周考试卷

成都石室中学高2027届高一上期第9周周考 数学试卷 （时间：90分钟 满分：120分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合， 若， 则实数a的值为（   ） A．5或 B． C．5 D． 3．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数y＝1＋x－的值域为(　　) A. B. C. D. 6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．设，若恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 9．设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，错选或漏选得0分． 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 11．设集合为非空数集，若，都有，则称为封闭集．下列结论正确的有（ ） A．若集合为封闭集，则 B．集合为封闭集 C．若集合、B为封闭集，则为封闭集 D．集合为封闭集 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（    ） A．函数满足： B．函数的值域是 C．对于任意的，都有 D．在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．已知集合，则 14．已知函数是上的偶函数，当，， 则当时，函数的解析式为 ； 15．已知二次函数，满足，且对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 16．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数的定义域为，集合. (1)求； (2)集合，若，求实数的取值范围. 18．已知命题，命题. (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 19．已知过点，且满足 (1)若存在实数，使得不等式成立，求实数t的取值范围. (2)求在上的最小值 (3)若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 20．定义在上的函数满足：，当时，有， (1)判断函数的奇偶性并证明； (2) 判断函数的单调性并证明； （3）求关于x的不等式的解集。 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都石室中学高2027届高一上期第9周周考 数学试卷答案 （时间：90分钟 满分：120分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， 阴影部分为. 故选：D． 2．已知集合， 若， 则实数a的值为（   ） A．5或 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以或. 若，则，此时，此时不成立； 若，则或， 当时，，B中有两元素相等，故不成立； 当时，此时，此时成立； 综上：. 故选：D 3．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4．“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在上单调递增， 故，解得，因为是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 5．函数y＝1＋x－的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为. 6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，在上单调递增，且， 由，得，或，时，，或， 又，即，或，故，解得， 时，，或，又，即， 故，解得，或， 则不等式的解集为：，故选：D. 7．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为对，且，都有成立， 不妨设，则，故，则，即， 所以在上单调递增，又因为，所以， 故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 故选：A. 8．设，若恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由恒成立，可得与符号同时变化， 即，且，则有， 故的最小值为. 故选：B. 9．设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意可知，，， 和为方程即的两个根， 故，， 当时，，其对称轴为，故， 故，故，可得， ， 设， 则其对称轴为，故，因，故，故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，错选或漏选得0分． 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 11．设集合为非空数集，若，都有，则称为封闭集．下列结论正确的有（ ） A．若集合为封闭集，则 B．集合为封闭集 C．若集合、B为封闭集，则为封闭集 D．集合为封闭集 【答案】AB 【详解】A：若时，有，对； B：是偶数集合，而对于任意两个偶数，它们的和、差、积均为偶数，故为封闭集，对； C：同B分析易知，均为封闭集， 而，但，即不是封闭集，错； D：显然存在，故不为封闭集，错. 故选：AB 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（    ） A．函数满足： B．函数的值域是 C．对于任意的，都有 D．在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【详解】由于，对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误，故选：AC． 三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．已知集合，则 【答案】. 14．已知函数是上的偶函数，当，， 则当时，函数的解析式为 ； 【答案】 15．已知二次函数，满足，且对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据题意，由， 得， 整理得，则，解得，即， 不等式， 依题意，，， 令， 当且仅当，即时，等号成立，因此， 所以实数c的取值范围是. 16．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以不等式， 所以对任意，恒成立，即 因为开口向下， 所以，解得. 四、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数的定义域为，集合. (1)求； (2)集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）由,即，得到或，所以或， 又由，得到或，即或，所以或， 所以或. ……………………(5分) （2）因为或，所以， ①当，即时，此时，所以满足题意， ②当，即时，由题有，解得， 综上，实数的取值范围是. ……………………(10分) 18．已知命题，命题. (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）因为命题， 当命题为假命题时，，为真命题， 当时，恒成立，满足题意； 当时，可得，解得， 综上，. ……………………(5分) （2）若命题和中有且仅有一个是假命题，由（1）（2）知， 若命题为假命题，则，若命题为真命题，则或； 若命题q为真命题，则或，若命题为假命题，则； 当命题为假命题、为真命题时，，解得； 当命题为假命题、为真命题时，，解得； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或 ……………………(10分) 19．已知过点，且满足 (1)若存在实数，使得不等式成立，求实数t的取值范围. (2)求在上的最小值 (3)若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 【答案】（1）由题设可知，得， 因为，所以，解得，，…………….(2分) 若存在实数，使得不等式成立，即，所以， 由二次函数性质可知，，因此. …………….(3分) （2）的对称轴为 当时，在上的最小值为 当，即，在上的最小值为， 当，即时，在上的最小值为. 综上所述， …………….(6分) （3）由得， 函数有两个不相等的不动点、，且、， 即有两个不相等的正实数根、， 即有两个不相等的正实数根、， ， 则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为 …………….(10分) 20．定义在上的函数满足：，当时，有， (1)判断函数的奇偶性并证明； (2) 判断函数的单调性并证明； （3）求关于x的不等式的解集。 （1）为奇函数。 证明：的定义域为，关于原点对称，……………………….(1分) 中，令得，解得， 中，令得， 故，所以为奇函数，……………………….(3分) （2）任取，则， 又时，，则， 即，故在上单调递减，……………….(6分) （3）， 所以，解得. …………….(10分) 试卷第6页，共8页 试卷第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$