江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

如东中学2023级高二数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.若直线的倾斜角为，则（ ）. A.0 B. C. D.不存在 2.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ） A.4 B.8 C.32 D.64 7.已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论： ①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 ②曲线C恰好经过8个整点即横､纵坐标均为整数的点 ③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 其中，所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.①③ C.③ D.① 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.对于直线.以下说法正确的有（ ） A.的充要条件是 B.当时， C.直线一定经过点 D.点到直线的距离的最大值为5 10.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线､，切点分别为､，则下列说法中正确的有（ ） A.的取值范围为 B.四边形面积的最小值为 C.存在点使 D.直线过定点 11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A.若点，则 B.若点，则在轴上存在点，使得 C.若点，点在直线上，则的最小值是3 D.若点在上，点在直线上，则的值可能是4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.圆与圆的位置关系为___________. 13.经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为___________. 14.已知圆O：圆：，则下列结论正确的是___________. ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： （1）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； （2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 16.已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 17.已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点.、异于原点 （1）求证：的面积为定值. （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程. （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 18.已知圆过点，且与圆关于直线对称. （1）判断圆与圆的位置关系，并说明理由； （2）过点作两条相异直线分别与相交于，. ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点､，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由. 19.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败. 已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为. （1）若，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ （2）若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 如东中学2023级高二数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.【答案】C 2.【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 3.【答案】B 4.【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为. 故选：D. 5.【答案】A 【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解. 【详解】由直线，可得， 可得直线的斜率为，且恒过定点，则， 如图所示，要使得直线与线段有交点，则或， 可得或，即实数的取值范围为. 故选：A. 6.【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：，当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 故选：D. 7.【答案】C 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C. 8.【答案】B 【分析】①根据曲线特征，分别令，，分x轴上方，x轴下方，转化为与矩形和等腰三角形的面积比较；②将x换成-x，由方程不变，得到图形关于y轴对称，先得到，时，曲线经过的点即可；③由时，利用基本不等式求解. 【详解】①由方程，令，得，令，得， 如图所示： 由图象可知：x轴上方，曲线C所围成的面积大于矩形ABCD的面积，， x轴下方，曲线C所围成的面积大于等腰三角形ABE的面积，， 所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+2=3，故正确； ②由方程，将x换成-x，方程不变，所以图形关于y轴对称， 令，得，即曲线C经过， 当时，方程变为，由，解得， 所以，此时，解得或，则曲线经过， 再由对称性知，曲线经过，所以曲线一共经过6个整点，故错误； ③当时，方程为，则，即（当且仅当时等号成立）， 所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故正确.故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BD 【分析】求出的充要条件即可判断A；验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B；求出直线经过的定点即可判断C；判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时，解得或， 当时，两直线为，符合题意； 当时，两直线为，符合题意，故A错误； 当时，两直线为，， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为， 故D正确， 故选：BD. 10.【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 11.【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确. 对于D，如图②所示，取，，则，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】外离 13.经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为___________. 【答案】或 14.【答案】①③④ 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④. 【详解】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确； 对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误； 对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为， 则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确； 对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确. 故答案为：①③④ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以，则圆A方程为， 过A做，由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知. 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程. （2）两圆的圆心之间的距离为. 当两圆外切时，圆的半径为； 当两圆内切时，圆的半径为. ∴圆的方程为或. 故答案为：或. 16.【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 17.【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得，即点. 18.【详解】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 ，又两半径之和为，圆与圆外切. （2）方法一：令､即，为过点的两条弦， 设､被圆所截得弦的中点分别为､，弦长分别为，，因为四边形是矩形， 所以，即，化简得 从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：､被圆所截得弦长之和的最大值为 方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在， 则，此时 若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，， 点到的距离为，同理可得点到的距离为， ， ， 综上：､被圆所截得弦长之和的最大值为 ②直线和平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ， 由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得， 同理，所以， ， 所以，直线和一定平行. 19.【详解】（1）解：根据题意，在中，可得， 由正弦定理得：， 可得，因为为锐角，所以， 所以应在矩形区域内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功. （2） 解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设，根据题意，可得，所以， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的上半圆在矩形区域内的部分， 所以，当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲. 学科网（北京）股份有限公司 $$