3.7正多边形与圆时 导学案 2024—2025学年青岛版数学九年级上册

第15课时 3.7正多边形与圆 一、温故知新 （1） 叫三角形的外接圆. （2） 叫三角形的内切圆. （3） 叫正多边形. （4）正n边形的内角和 ；一个内角为 ； 正n边形的外角和 ；一个外角为 . 二、预习检测 （1）正多边形 轴对称图形，一个正n边形有 条对称轴. （2）正多边形的各条对称轴交于 ，这点到正多边形 距离相等，到 的距离也相等. （3）任何一个正多边形都有一个 和 ，这两个圆是 ，圆心是 . 牛刀小试1、下列命题中，正确的是（ ） A.正多边形都是轴对称图形 B.正多边形一个内角的大小与边数成正比例 C.正多边形一个外角的大小随边数的增加而增大 D.正多边形都是中心对称图形 牛刀小试2、画出如图正五边形的所有对称轴 （4） 叫正多边形的中心； 叫正多边形的半径； 叫正多边形的边心距； 叫正多边形的中心角； 牛刀小试3、已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积 是 . 牛刀小试4、尺规作图画一个正方形. 三、学习目标 （1）理解正多边形的性质，能运用性质解决相关的问题. （2）理解正多边形的相关概念，如中心角、边心距、半径、中心等，能结合已知条件求正多边形的面积、周长等. （3）会用尺规作图画正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形等；会借助量角器画正多边形. 四、知识精讲 知识点一、正多边形的性质 性质：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴；正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等；任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点. 思考：（1）正n边形对称轴是相对的顶点所在的直线吗？如果不是，正n边形的对称轴是什么？ （2）正n边形一定是中心对称图形吗？如果不是，什么样的正n边形一定是中心对称图形？ 练一练、下列多边形：（1）等边三角形（2）正方形（3）正五边形（4）正六边形（5）菱形（6）等腰梯形.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 . 知识点二、正多边形的相关概念及计算 概念：（1）正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫正多边形的中心； （2）外接圆的半径叫正多边形的半径； （3）内切圆的半径叫正多边形的边心距； （4）正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫正多边形的中心角. 思考：已知正n边形中，半径为R，则 （1）中心角= .（2）一个内角= ； （3）一个外角= ；（4）边心距r= ； （5）边长a= ；（6）面积S= ； （7）周长l= . 练一练、正三角形的边心距、半径、高的比是 . 知识点三、画正多边形 思路一：借助量角器在圆中画出一个正多边形的中心角，再用圆规等分圆周，可画出任意一个正多边形. 思路二：尺规作图直接平分圆周，不适用于画所有的正多边形. 练一练、（1）借助量角器画一个正六边形.（2）尺规作图直接画正六边形 五、典例精练 题型一、正多边形的性质 例1、给出的下列命题，（1）同圆的内接正n变形和外切正n变形相似；（2）正九边形是中心对称图形；（3）每个角都相等的圆内接多边形是正多边形；（4）正七边形有七条对称轴.其中正确的有（ ）个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式、下列命题： （1）一个四边形不一定有外接圆或内切圆； （2）矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆； （3）三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆； （4）依次连接正多边形各边中点所得的多边形是正多边形. （5）任意两个正多边形一定相似. 其中错误的是 . 题型二、正多边形中相关的计算 例2、如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形. （1）求这个正六边形的边长； （2）求这个正六边形的边心距； （3）设这个正六边形的中心为O，一边为AB，则AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的（作图表示）？并求线段AB划过的面积. 变式1、如图，正方形ABCD和正都内接于，EF与BC，CD分别相交于点G,H，则的值是（ ） A. B. C. D.2 变式2、如图，是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a,半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ） A. B. C. D. 变式3、半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c，则a,b,c的大小关系是（ ） A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 变式4、如图，已知的内接正六边形ABCDEF的变心距OM=2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（ ） A.2 B.4 C. D. 变式5、如图，的周长等于，正六边形ABCDEF内接于. （1） 求圆心O到AF的距离. （2） 求正六边形ABCDEF的面积. 题型三、画正多边形 例3、（1）借助量角器画正五边形 （2）尺规作图画等边三角形、正方形、正六边形、正八边形. 变式1、画一个半径为2cm的正七边形 变式2、画一个半径为3cm的正十二边形 六、课堂小结 七、课后练习 1．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（          ） A．6 B．12 C．12 D．24 2．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（     ）（） A．0 B．0.14 C．0.5 D．1 3．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（       ） A． B． C． D． 4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（       ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 5．判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）各边相等的多边形是正多边形；( ) （2）圆内接菱形是正方形；( ) （3）各个角相等的圆内接多边形是正多边形；( ) （4）正多边形都是中心对称图形.( ) 7．如图，⊙O与正六边形的边分别交于点，点在上，则圆周角的大小为_______度． 8．正八边形的中心角等于______度 9．如图，若五边形是的内接正五边形，则_________，__________，__________，__________． 10．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝_____． 11．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 12．如图，多边形为圆内接正五边形，与圆相切于点A，求的度数． 13．已知圆的半径为R． （1）求这个圆的内接正n边形的周长和面积； （2）利用（1）的结果填写下表： 内接正n边形 正六边形 正十二边形 正二十四边形 … 内接正n边形的周长 内接正n边形的面积 观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长（面积）有怎样的变化趋势？与圆的周长（面积）进行比较，你能得出什么结论？ 14．完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 15．在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形．这五个点应该怎样画？ 学科网（北京）股份有限公司 $$