3.6 弧长及扇形面积的计算 导学案 2024—2025学年青岛版数学九年级上册

第14课时 弧长及扇形面积的计算 一、温故知新 （1） 叫三角形的内切圆. （2）如何用尺规作图作三角形的内切圆？ （3）的内切圆半径r= . （4）什么是弧？什么是扇形？扇形的周长和弧长该如何计算？ 二、预习检测 （1）n°弧的长度l= . （2）半径为r，圆心角为n°的扇形的面积S= = . 牛刀小试1、75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是 cm. 牛刀小试2、如果一个扇形的圆心角是60°，半径是5cm，那么这个扇形的面积为 . 牛刀小试3、扇形的弧长为，半径为4cm，则该扇形的面积为 . 三、学习目标 （1）掌握弧长公式和扇形的面积公式. （2）会运用弧长公式和扇形的面积公式进行相关的计算. （3）体验数学活动充满探索和创造，感受数学的严谨性与数学结论的确定性. 四、知识精讲 知识点一、弧长公式 探究：半径为r，圆心角为n°的弧的弧长为？ 半径为r的圆的周长为 ； 则180°弧是圆周的 ，所以其弧长等于 ； 90°弧是圆周的 ，所以其弧长等于 ； 45°弧是圆周的 ，所以其弧长等于 ； 1°弧是圆周的 ，所以其弧长等于 ； n°弧是圆周的 ，所以其弧长等于 ； 总结：半径为r，圆心角为n°的弧的长度. 注意：n代表的是弧所对圆心角度数的数值，并不是角的度数. 练一练1、四边形ABCD是的内接四边形，的半径为2，，则的长为？ 想一想：若已知弧的半径为r，弧长为l，则n= ； 若已知弧的圆心角为n°，弧长为l,则弧的半径r= ； 总结：对于弧，l,n,r三个量中，已知其中的两个量即可求出另外一个. 练一练2、已知扇形的弧长是，半径是12cm，则这个扇形的圆心角是（ ） A.60° B.45° C.30° D.20° 知识点二、扇形的面积公式 探究：半径为r，圆心角为n°的扇形的面积为？ 圆心角为180°的扇形是圆面积的 ，所以扇形的面积为 . 圆心角为90°的扇形是圆面积的 ，所以扇形的面积为 . 圆心角为45°的扇形是圆面积的 ，所以扇形的面积为 . 圆心角为1°的扇形是圆面积的 ，所以扇形的面积为 . 圆心角为n°的扇形是圆面积的 ，所以扇形的面积为 . 总结：扇形的面积. 练一练、若一个扇形的弧长为，它的圆心角为120°，那么这个扇形的面积 是 . 五、典例精练 题型一、弧长的计算 例1、如图所示为一段弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知的圆心为O，半径OA=60cm，，求这段弯管的长度（精确到0.1cm） 变式1、如图，拱桥的形状是一段圆弧，桥拱的度数是90°，半径OA为30m.求桥拱的长（精确到0.1m） 变式2、如图，在扇形AOB中，AC为弦，，，OA=6，则的长为（ ） A. B. C. D. 变式3、如图，在矩形ABCD中，，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ） A. B. C. D. 变式4、如图，在中，，，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，若AC=6cm，求的长. 例2、如图，把直角的斜边AC放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到的位置，设，顶点A运动到的位置时，点A所经过的路线长是多少？ 变式5、如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，求的长度. 题型二、扇形面积的计算 例3、如图，一把扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB与AC的夹角为120°，AB的长为30cm，竹条AB上贴纸部分BD的宽为20cm，求扇子的一面上贴纸部分的面积. 变式1、扇形的弧长为，面积为，则扇形的半径是 . 变式2、扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是 . 题型三、不规则图形面积的计算 例4、如图所示，在中，与圆相切于点C，则图中阴影部分的面积为 . 变式1、如图所示，A是半径为2的外一点，OA=4，AB是的切线，B为切点，弦，连接AC，求阴影部分的面积. 变式2、如图，在Rt中，，分别以A,C为圆心，的长为半径作圆，将Rt截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A. B. C. D. 变式3、如图，AB是的直径，弦，垂足为点M，连接OC，DB.如果，，那么图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 变式4、如图，外侧大正方形的边长为1，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影部分的面积是0.26，则最小正方形的边长为 . 变式4图 变式5图 变式5、如图，五个大小相同的圆，半径都是1，顺次连接圆心得到五边形ABCDE，则阴影部分的面积是 . 六、课堂小结 七、课后练习 1．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（       ） A． B．6 C．12 D． 2．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在Rt中，∠BCA=90° 两分圆别以为半径画圆，则阴影部分的面积为（             ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（       ） A． B． C． D． 5．一个商标图案如图中阴影部分，在长方形中，，，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积是（       ） A． B． C． D． 6．一个扇形的半径为6cm，圆心角为90°，则这个扇形的弧长为_______，这个面积为_____． 7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么点从开始至结束所走过的路径长度_______（结果保留）． 8．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝6． （1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的△AB1C1； （2）求点B旋转到B1所经过的路径长；（结果保留π） （3）若点B的坐标为（－5，5），试建立合适的直角坐标系，并写出A，C两点的坐标； （4）作出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出A2，B2，C2三点的坐标． 9．如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，恰好经过圆心，求的长． 10．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，求该圆的半径． 11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝ ，求阴影部分的面积．    12．铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在角的扇形区域内（以投掷圈的中心为圆心），这一区域为危险区域．如果运动员最多可投，那么这一比赛的危险区域的面积至少应是多少？（结果精确到） 13．如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，且． （1）求的度数； （2）若的半径为3，求图中阴影部分的面积． 14．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 15．已知：如图，中，，以A点为圆心，长为半径作，求与围成的阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$