专题3.2 弧长及扇形面积的计算（易错、好题必刷题40题8种题型）（期中专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题3.2 弧长及扇形面积的计算（易错、好题必刷8题40种题型专项训练） 目录 【题型01 求弧长】 1 【题型02 求扇形半径】 3 【题型03 求圆心角】 4 【题型04 求某点的弧形运动路径长度】 7 【题型05 求扇形面积】 10 【题型06 求图形旋转后扫过的面积】 12 【题型07 求弓形面积】 15 【题型08 求其他不规则图形的面积】 17 【题型01 求弧长】 【易错题精讲】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ． 【变式训练1-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式训练1-2】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，，点，分别为，的中点绕点顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点． (1)如图，当时，与的数量关系为______ ，与的位置关系为______ ； (2)当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)绕点顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中点运动轨迹的长度和点到直线距离的最大值． 【变式训练1-3】（2024九年级上·全国·专题练习）在矩形中，，点分别是边上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处． (1)如图，当与线段交于点时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，连接交于点连结．求证：； (3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长． 【题型02 求扇形半径】 【易错题精讲】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 （用含的式子表示）． 【变式训练2-1】（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则OA的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练2-2】（2024九年级下·全国·专题练习）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 【变式训练2-3】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【变式训练2-4】（2020·山东烟台·一模）如图，在一圆柱铁桶内底面的点处有一飞虫，在其上边沿的点处有一面包残渣，已知是点正下方的桶内底面上一点，已知劣弧的长为，铁桶的底面直径为，桶高为60cm，则该飞虫从点到达的最短路径是 cm．    【题型03 求圆心角】 【易错题精讲】（2024·河北沧州·二模）如图1、图2，半圆O的直径，的长．作于点E，交半圆O于点D． (1)①求的大小； ②求弦的长； (2)如图2，过点C作半圆O的切线．请直接写出点D到切线的距离 ． 【变式训练3-1】（2024·河南许昌·二模）如图，在扇形中，半径的长为，点P在上，连结，将沿折叠得到． 若与所在的圆相切于点 B，则的长为 ． 【变式训练3-2】（2024·河北邢台·一模）某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 【变式训练3-3】（2021·河北廊坊·二模）如图1，在正方形ABCD中，，点O、E在边CD上，且，，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD延长线于点F． （1）________． （2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转，点O的对应点为，点F对应点为，当半圆交BC于P、R两点时，若弧PR的长为，求此时半圆与正方形ABCD重叠部分的面积． （3）当半圆与正方形ABCD相切时，设切点为N，直接写出的值． 【变式训练3-4】（2020九年级上·全国·专题练习）如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F． （1）求的值； （2）四边形EFDB′的面积为　 　； （3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离． 【题型04 求某点的弧形运动路径长度】 【易错题精讲】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是 ． 【变式训练4-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练4-2】（2023·北京东城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)作出关于原点成中心对称的图形（点与点对应），并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为，画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点经过的路径的长． 【变式训练4-3】（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)以原点为中心，将逆时针旋转，得到请在网格内画出，并写出点和的坐标 ， ； (3)求点旋转到点时所经过的路径长． 【变式训练4-4】（23-24九年级下·吉林长春·期中）【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； (3)若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 【题型05 求扇形面积】 【易错题精讲】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练5-1】．（21-22九年级上·广西玉林·期末）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，矩形中，对角线、相交于点，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【变式训练5-3】（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点C逆时针旋转α角后得到，当点A的对应点落在边上时, 度，阴影部分的面积为 ． 【变式训练5-4】（2024·河南南阳·二模）如图，在扇形中，，半径 ，点C是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点 A落在的延长线上的点D处，连接，则图中阴影部分面积为 (结果保留π) ． 【题型06 求图形旋转后扫过的面积】 【易错题精讲】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的，并求出边扫过的面积． 【变式训练6-1】．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 【变式训练6-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，．将绕圆心O逆时针旋转至 ，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积． 【变式训练6-3】（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 【变式训练6-4】（2021·江苏苏州·一模）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积． 【题型07 求弓形面积】 【易错题精讲】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点E，若的半径为，，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【变式训练7-1】（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【变式训练7-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ． 【变式训练7-3】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．    (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求的长； (3)若是弧的中点，，求图中阴影部分的面积． 【变式训练7-7】（22-23九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点E，若的半径为，，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【题型08 求其他不规则图形的面积】 【易错题精讲】（22-23九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，为的外接圆，为的直径，点D为的中点，连接． (1)求证：． (2)设交于点E，若，，．求阴影部分面积． 【变式训练8-1】（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）如图，中，边，，以A为圆心，对角线为半径画弧，分别交边AB于点E，连接EC，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式训练8-2】2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【变式训练8-3】（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6． (1)求证：直线与相切； (2)如图1，若，求阴影部分面积； (3)如图2，若，求的值． 【变式训练8-4】（2024·山东枣庄·一模）如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若与交于点，，且，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 弧长及扇形面积的计算（易错、好题必刷8题40种题型专项训练） 目录 【题型01 求弧长】 1 【题型02 求扇形半径】 9 【题型03 求圆心角】 14 【题型04 求某点的弧形运动路径长度】 23 【题型05 求扇形面积】 33 【题型06 求图形旋转后扫过的面积】 39 【题型07 求弓形面积】 47 【题型08 求其他不规则图形的面积】 56 【题型01 求弧长】 【易错题精讲】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键． 根据弧长公式计算即可． 【规范解答】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，为半径旋转， 此次走过的路径是， 故点两次共走过的路径是． 故答案为：． 【变式训练1-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质，弧长公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，求出，再根据弧长公式计算即可． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的长为， 故选：B． 【变式训练1-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）先由等边对等角得到，，再由三角形内角和定理得到，，则由平角的定义可得，据此可证明是的切线； （2）先证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，得到，则，证明四边形为矩形，得到，则，据此根据弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接, ， ， ， ， ， ∴， ， ， 又是的半径， 是的切线： （2）解：如图，连接． 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ， 四边形为矩形， ， ， 的长为． 【考点评析】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，求弧长，正确作出辅助线是解题的关键。 【变式训练1-2】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，，点，分别为，的中点绕点顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点． (1)如图，当时，与的数量关系为______ ，与的位置关系为______ ； (2)当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图的情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)绕点顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中点运动轨迹的长度和点到直线距离的最大值． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，证明见解析 (3)； 【思路点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键． （1）分别求出的长即可解答； （2）先证明，可得，即可解答； （3）利用锐角三角函数可求，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可． 【规范解答】（1）解：在中，，，， ，，， 点，分别为，的中点， ，， ， 故答案为：，； （2）结论仍然成立， 理由如下：，，，， ，， ， 绕点顺时针旋转， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）， 点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，作，以点为圆心，为半径作，当是切线时，点到的距离最大，过点作，交的延长线于，连接， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹为点点点点点， 点运动轨迹的长度， ，， ，， ，， ． 点到直线距离的最大值． 【变式训练1-3】（2024九年级上·全国·专题练习）在矩形中，，点分别是边上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处． (1)如图，当与线段交于点时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，连接交于点连结．求证：； (3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【思路点拨】（）由平行线的性质得，由翻折的性质得，则，即可得出结论； （）同（）易证，由证得，得出，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （）证出，得，再证点运动的路径是以为圆心，以为半径的弧，求出，再求出，，利用弧长公式运算即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：连接，交于，连接，如图所示， 同（）得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴点为的交点，且， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴（）， ∴， 当点由点移动到中点时，则点移动到的中点，点落在点处， ∴点运动的路径是以为圆心，以为半径的弧， 在中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， ∴点G运动的路径的长． 【考点评析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，弧长公式以及解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【题型02 求扇形半径】 【易错题精讲】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 （用含的式子表示）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，设扇形的半径为，根据弧长求出半径，最后由扇形面积公式计算即可得出答案． 【规范解答】解：设扇形的半径为， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练2-1】（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则OA的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路点拨】连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度． 【规范解答】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， （三线合一）， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接,为 中点，为中点， ， ，， ， 即; 故选：C ． 【考点评析】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键． 【变式训练2-2】（2024九年级下·全国·专题练习）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算，设此圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键． 【规范解答】解：设此圆锥的母线长为， 根据题意得，解得， 即此圆锥的母线长为， 故答案为：． 【变式训练2-3】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了阴影组合图形的面积．解决问题的关键是熟练掌握半圆的三等分点的性质，等边三角形的判断和性质，弧长公式，扇形面积公式，同底等高的两个三角形面积相等． 连接、和，根据C，D是以为直径的半圆的三等分点，可得，推出是等边三角形，推出，得到，根据同底等高的两个三角形面积相等，可将阴影部分的面积转化为扇形的面积，求解即可． 【规范解答】连接、、．设半圆的半径为r， ∵C，D是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弧的长为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式训练2-4】（2020·山东烟台·一模）如图，在一圆柱铁桶内底面的点处有一飞虫，在其上边沿的点处有一面包残渣，已知是点正下方的桶内底面上一点，已知劣弧的长为，铁桶的底面直径为，桶高为60cm，则该飞虫从点到达的最短路径是 cm．    【答案】 【思路点拨】连接AC、AB、OA、OC，作OD⊥AC于点D，先由弧长公式求出∠AOC的度数，然后得到∠AOD的度数，然后利用勾股定理求出AD，然后得到AC，再利用勾股定理求出AB即可. 【规范解答】解：根据题意，连接AC、AB、OA、OC，作OD⊥AC于点D，如图：        ∵劣弧的长为，， ∴， 解得：， 即∠AOC=120°， ∵OD⊥AC， ∴∠AOD=∠AOC=60°， ∴∠OAD=30°， ∴OD=OA=10， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，，由勾股定理得： ； ∴该飞虫从点到达的最短路径是cm； 故答案为：. 【考点评析】本题考查了最短路径问题，也考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式和垂径定理，利用勾股定理正确求出AC的长度. 【题型03 求圆心角】 【易错题精讲】（2024·河北沧州·二模）如图1、图2，半圆O的直径，的长．作于点E，交半圆O于点D． (1)①求的大小； ②求弦的长； (2)如图2，过点C作半圆O的切线．请直接写出点D到切线的距离 ． 【答案】(1)①；②； (2)3． 【思路点拨】此题考查了弧长公式，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数： （1）①根据弧长公式求出的度数，利用圆周角定理求出的大小；②利用吹净定理及三角函数求出的长； （2）连接，求出，证得是等边三角形，得到，．求出．作于点F，利用三角函数求出答案． 【规范解答】（1）解：①∵半圆O的直径，∴半圆O的半径等于6， 又∵的长， ∴， 解得：， ∴； ②∵于点E， ∴，， 又∵， ∴； （2）如图2，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∴． 作于点F， ∴． 故答案为3． 【变式训练3-1】（2024·河南许昌·二模）如图，在扇形中，半径的长为，点P在上，连结，将沿折叠得到． 若与所在的圆相切于点 B，则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】连接，交于点D，求得，利用求得圆心角，利用三角函数，解答即可． 本题考查了切线性质，折叠的性质，弧长，三角函数，熟练掌握切线性质，三角函数，弧长公式是解题的关键． 【规范解答】连接，交于点D， ∵沿折叠得到． ∴，， ∵ 与所在的圆相切于点 B， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵半径的长为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练3-2】（2024·河北邢台·一模）某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 【答案】(1)3 (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，垂径定理，弧长公式，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）在中，利用正切定义求出，然后在中，利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）连接，利用弧长公式求出的度数，进而求出的度数，过点O作于E点，在中，利用正切定义可得出，利用勾股定理可求出，由垂径定理求出，过D作于点，则可证四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，，， ， ∵， ∴； （2）解：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点O作于E点， ∴， ， ∴， ， ，， ， ， 过D作于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 【变式训练3-3】（2021·河北廊坊·二模）如图1，在正方形ABCD中，，点O、E在边CD上，且，，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD延长线于点F． （1）________． （2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转，点O的对应点为，点F对应点为，当半圆交BC于P、R两点时，若弧PR的长为，求此时半圆与正方形ABCD重叠部分的面积． （3）当半圆与正方形ABCD相切时，设切点为N，直接写出的值． 【答案】（1）6；（2）；（3）或 【思路点拨】（1）连接OG，先求出半径OE，再利用勾股定理求得DG，进而求得AG的长； （2）由弧长公式求得∠PR的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式计算即可； （3）分两种情况：①当半圆与正方形ABCD的边BC相切时；②当半圆与正方形ABCD的边AB相切时，分别求出结果即可． 【规范解答】解：（1）连接OG，如图1， ∵四边形ABCD是正方形，AB=10， ∴AD=CD=AB=10，∠ADC=90°， ∵CE=2，OD=3， ∴OE=CD﹣CE﹣OD=10﹣2﹣3=5， 在Rt△ODG中，由勾股定理得：DG==4， ∴AG=AD﹣DG=10﹣4=6， 故答案为：6； （2）如图2，∵圆的半径为5，弧PR的长为， ∴由得：n=60°，即∠P R=60°， ∴， ∵P= R， ∴△P R是等边三角形， ∴， ∴==； （3）根据题意，分两种情况： ①当半圆与正方形ABCD的边BC相切时，如图3，连接N，则N⊥BC，N=E=5， 过点D作DH⊥NE交NE延长线于H，过E作EG⊥N于G，则四边形CEGN为矩形， ∴NG=CE=2，G=N﹣NG=3， ∴CN=GE==4， ∴DN==， NE==， 由得： ， ∴， ∴tan∠END=； ②当半圆与正方形ABCD的边AB相切时，如图4，此时N与重合，则E⊥AB， ∵AB∥CD， ∴E⊥CD， ∴tan∠END= ， 综上，tan∠END= 或． 【考点评析】本题考查正方形的性质、圆的有关知识、矩形的判定与性质、勾股定理、弧长公式、扇形面积公式、切线性质、勾股定理、锐角的三角函数，熟练掌握相关知识的运用，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键． 【变式训练3-4】（2020九年级上·全国·专题练习）如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F． （1）求的值； （2）四边形EFDB′的面积为　 　； （3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离． 【答案】（1）;（2）10;（3）． 【思路点拨】（1）由折叠的性质可得出B'D=2,求出CF=2,则可得出答案; （2）由梯形的面积公式可求出答案; （3）由直角三角形的性质及旋转的性质求出∠A'DM=30°,由弧长公式可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上,B的对应点为B′, ∴AB＝AB',∠BAE＝∠B'AE,∠B＝∠B'＝90°, ∴四边形ABEB'为正方形, ∴△AB'E为等腰直角三角形, ∵AB＝6,AD＝8, ∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2, ∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠, ∴AB'＝A'B'＝6,∠A'＝∠A＝45°, ∴A'D＝DF＝6﹣2＝4, ∵CD＝AB＝6, ∴CF＝6﹣4＝2, ∴． （2）由（1）可知B'D＝2,DF＝4,B'E＝6, ∴四边形EFDB′的面积＝×（B'E+DF）×B'D＝． 故答案为：10． （3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN, ∴DF＝DN＝4,∠NDM＝90°, ∵B'D＝2,∠NB'D＝90°, ∴∠B'ND＝30°, ∴∠B'DN＝60°, ∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°, ∵△A′DF在绕点D旋转过程中,点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M, ∴ 的长为 ． 即点A'到达点M所经过的距离为． 【考点评析】本题是几何变换综合题,考查了矩形的性质,折叠的性质,旋转的性质,等腰直角三角形的判定与性质,梯形的面积,弧长公式直角三角形的性质等知识,熟练掌握折叠的性质及旋转的性质是解题的关键． 【题型04 求某点的弧形运动路径长度】 【易错题精讲】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【规范解答】解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故答案为：． 【变式训练4-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质及动点轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用圆周角定理确定P点的轨迹．连接，由，可得点P是在以为直径的弧上运动，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长，据此求解即可． 【规范解答】如图，连接， 是的直径， ， 点P是在以为直径的弧上运动， 当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长， ， 中，， ， 故选：C 【变式训练4-2】（2023·北京东城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)作出关于原点成中心对称的图形（点与点对应），并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为，画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点经过的路径的长． 【答案】(1)图见解析；点的坐标为； (2)图见解析；点的坐标为； (3)点B经过的路径长为 【思路点拨】本题考查了旋转与坐标，弧长的计算公式，解决本题的关键是找到旋转后的对应点，理解旋转时，点的运动轨迹为弧形． （1）根据中心对称的性质找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标； （2）根据旋转的性质找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标； （2）点B经过的路径为弧，求得弧的半径计算弧长即可． 【规范解答】（1）解：关于原点成中心对称的图形如图所示； 点的坐标为； （2）解：旋转后的图形如图所示； 点的坐标为； （3）解：由题可得， ， 点B经过的路径长为． 【变式训练4-3】（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)以原点为中心，将逆时针旋转，得到请在网格内画出，并写出点和的坐标 ， ； (3)求点旋转到点时所经过的路径长． 【答案】(1)，； (2) ，； (3)． 【思路点拨】本题考查了旋转变换作图，弧长公式，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点．旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． （1）直接根据图形即可写出点和的坐标； （2）直接依据旋转中心，旋转方向以及旋转角度，即可得到． （3）根据题意用弧长公式即可求解； 【规范解答】（1）如图所示，点的坐标为；点的坐标为； （2）如图所示，即为所求， 和的坐标分别为： ，， （3）根据题意可知，点旋转了，半径为的弧， 根据弧长公式可得： 【变式训练4-4】（23-24九年级下·吉林长春·期中）【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； (3)若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）先证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； （3）根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【规范解答】（1）证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，由（1）得， 点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点G经过的路径为； 故答案为： （3）解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为： 【考点评析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型05 求扇形面积】 【易错题精讲】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查扇形的面积，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型． 连接，过点作，垂足为，找出即可求出答案． 【规范解答】解：连接，过点作，垂足为，如图所示， ，，， ，，， 以点为圆心，的长为半径作弧， ， 是等边三角形， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 故答案为：． 【变式训练5-1】．（21-22九年级上·广西玉林·期末）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可． 【规范解答】解：连接，交于E， ∵沿对折O和Q重合，， ∴，，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：D． 【考点评析】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练5-2】（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，矩形中，对角线、相交于点，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质．由矩形的性质可得：，因为，可得三角形是等边三角形，可得，然后计算扇形的面积和等边三角形的面积，两部分面积相减即可． 【规范解答】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练5-3】（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点C逆时针旋转α角后得到，当点A的对应点落在边上时, 度，阴影部分的面积为 ． 【答案】 60 【思路点拨】根据旋转性质，证明是等边三角形，解答即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， 根据旋转性质，得，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60； 设的交点为M， 根据题意，得, ∴，， ∴，， ∴，， ∴，, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，三角函数的应用，扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，三角函数的应用，公式是解题的关键． 【变式训练5-4】（2024·河南南阳·二模）如图，在扇形中，，半径 ，点C是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点 A落在的延长线上的点D处，连接，则图中阴影部分面积为 (结果保留π) ． 【答案】 【思路点拨】过点B作交与点E，垂足为E，作点O关于的对称点，连接，，由折叠的性质可得出，根据，由等边对等角得出，由对称的性质可得出，由直角三角形的性质可得出，解直角三角形可得出，再证明是等腰直角三角形，求出，再根据即可求出答案． 【规范解答】解：过点B作交与点E，垂足为E，作点O关于的对称点，连接，，如图∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【考点评析】本题考查扇形面积的计算，直角三角形的性质，轴对称折叠的性质，解直角三角形的相关计算等知识点，构造直角三角形以及对称图形是解题的关键． 【题型06 求图形旋转后扫过的面积】 【易错题精讲】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的，并求出边扫过的面积． 【答案】(1)画图见解析，点的坐标分别为 (2)画图见解析，边扫过的面积为 【思路点拨】本题考查了中心对称图形的作法以，旋转作图及扇形面积，解题的关键是掌握基本的作图方法并熟知中心对称图形与旋转的概念． （1）根据中心对称图形的概念即可作出图形，求出对应点坐标； （2）根据旋转作出旋转后的图，利用勾股定理求出的长，由边扫过的面积为扇形的面积，利用扇形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，为所求， 点的坐标分别为； （2）解：如图所示，为所求； ，旋转角， 边扫过的面积为扇形的面积， 边扫过的面积为． 【变式训练6-1】．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 【答案】(1) (2)4π 【思路点拨】本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积． （1）由旋转的性质得到：，，根据弧长公式即可解答； （2）由旋转的性质得到阴影的面积，结合扇形面积公式即可解答． 【规范解答】（1）解：由旋转的性质得到：，， ∴， ∴点A扫过的弧长是； （2）解：由旋转的性质得到：，，的面积的面积， ∵阴影的面积 ∴阴影的面积 【变式训练6-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，．将绕圆心O逆时针旋转至 ，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积． 【答案】 【思路点拨】本题考查旋转和含角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和含角的直角三角形的性质，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【规范解答】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 【变式训练6-3】（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；② (3)见解析 【思路点拨】（1）①利用圆的面积公式计算，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积计算； ②利用参考数据计算近似值再比较即可； （2）①依题意补全方案3的示意图即可； ②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可； （3）作等边，首先让点B在上运动，点A在的延长线上，运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明． 【规范解答】（1）解：①由依题意得：， ， ∴ 又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长． ∴ 故答案是：，； ②∵，，， ∴； （2）①依题意补全方案3的示意图如下：    ②连接，M为切点，则的中点，    设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． （3）设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．    对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时， 又作，则 依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为， 则有，F为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练6-4】（2021·江苏苏州·一模）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3） 【思路点拨】1）连接，由切线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，即可得出结论； （2）设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解法长即可； （3）过点作交的延长线于，当时，，得出，，，当时，，，即可得出结果． 【规范解答】解：（1）证明：连接，如图1所示： 是的切线， ， ， ， 、是的两条半径， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 设， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ； （3）解：过点作交的延长线于，如图2所示： 当时，， ，， ， 当时，， ，， ， 当从增大到的过程中，在圆内扫过的面积为： ． 【考点评析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、扇形面积的计算、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键． 【题型07 求弓形面积】 【易错题精讲】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点E，若的半径为，，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等： （1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论； （2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案． 【规范解答】（1）连接， 是的直径 ， ， ，即， 是的半径， 直线是的切线 （2）过点作于，连接， ， 由（1）得 是等边三角形， 【变式训练7-1】（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【思路点拨】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【规范解答】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 【变式训练7-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图： 由网格可知，， ， ∵ ， 故答案为：． 【变式训练7-3】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．    (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求的长； (3)若是弧的中点，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切．理由见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）由平分得，加上∠1=∠3，则，于是可判断，由于，所以，则可根据切线的判定定理得到为的切线； （2）作于H，如图，根据垂径定理得，再证明四边形为矩形，得到，，在中利用勾股定理计算出，则，然后在中根据勾股定理可计算出的长； （3）由E是的中点得到，根据垂径定理得，由于，根据等腰三角形的判定得到，即，所以为等边三角形，易得为等边三角形，所以，可计算出，于是可计算出，由于，然后利用进行计算． 【规范解答】（1）解：与相切．理由如下：如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：作与H，如图，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴； （3）解：∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 同理可得为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题考查了切线的判定：扇形面积的计算．平行线的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 【变式训练7-7】（22-23九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点E，若的半径为，，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论； （2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案． 【规范解答】（1）连接， 是的直径 ， ， ，即， 是的半径， 直线是的切线 （2）过点作于，连接， ， 由（1）得 是等边三角形， 【考点评析】本题主要考查了切线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握相关性质和判定是解本题的关键． 【题型08 求其他不规则图形的面积】 【易错题精讲】（22-23九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，为的外接圆，为的直径，点D为的中点，连接． (1)求证：． (2)设交于点E，若，，．求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）先根据圆周角定理可得，再根据垂径定理的推论可得垂直平分，然后根据平行线的判定即可得证； （2）设的半径为，从而可得，再根据垂径定理的推论可得，然后在中，利用勾股定理可得的值，求出的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得． 【规范解答】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， ∵点D为的中点， ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， ， ， ∵点D为的中点， ∴， ， 在中，，即， 解得， ， 又， ， ， ∴阴影部分面积为． 【考点评析】本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键． 【变式训练8-1】（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）如图，中，边，，以A为圆心，对角线为半径画弧，分别交边AB于点E，连接EC，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题． 【规范解答】解：过点作于点，   ∵，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练8-2】2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 【变式训练8-3】（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6． (1)求证：直线与相切； (2)如图1，若，求阴影部分面积； (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【思路点拨】本题考查圆的综合题型，切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定与性质． （1）根据切线的判定可得结论； （2）过点作于，连接，先证明四边形为矩形，得出，再求出，最后由即可得出； （3）过点作于，过点作于，则四边形为矩形，设,则，根据勾股定理用含的式子表达出，再根据求出即可． 【规范解答】（1）证明：, 为的半径 直线与相切； （2）如图，过点作于，连接， 四边形为矩形 是等边三角形 ，， ； （3）如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形， 设，则 解得（舍去）或 ． 【变式训练8-4】（2024·山东枣庄·一模）如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若与交于点，，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查切线的判定及性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，扇形公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）分别求出，即可得，从而证明是的切线； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到，得到，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接，， 是圆的直径， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点在圆上， 是的切线； （2）解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$