3.4直线与圆的位置关系 导学案 2024—2025学年青岛版数学九年级上册

第12课时 3.4直线与圆的位置关系 一、温故知新 （1）圆周角等于（圆周角定理） ； （2）推论1：圆周角的度数等于 ； （3） 推论2：圆周角与弧的关系： ； （4）推论3：直径与圆周角的关系： ； （5）推论4：圆内接四边形： ； 二、预习检测 （1）直线与圆的位置关系有哪三种？ ； ； . （2）圆心O到直线l的距离为d,圆的半径为r:若d<r，则 ；若d=r，则 ；若d>r，则 . 牛刀小试1、已知的直径为10cm，点O到直线a的距离为d. 1、若a与相切，则d= ； 2、若d=4cm，则a与有 个公共点； 3、若d=6cm，则a与的位置关系为 . （3）切线的判定定理：过 的外端并且 半径的直线是圆的切线. 牛刀小试2、如图，点A,B,D在上，，OD的延长线交直线BC于点C，当 时，直线BC与相切. 牛刀小试2图 牛刀小试3图 （4）切线的性质定理：圆的切线 于经过 的半径. 牛刀小试3、如图，的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切于点A，则PA= . （5）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长 . 牛刀小试4、如图，PA,PB分别与相切于点A,B. 1、若PB=12,PO=13，则AO= ； 2、若PO=10,AO=6，则PB= ; 3、若PA=4,AO=3，则PO= ;PB= . 三、学习目标 （1）熟练掌握直线与圆的三种位置关系，会判断直线与圆的位置关系. （2）掌握切线的判定定理和性质定理，会判断所给线是不是圆的切线.能由已知切线解决如求角、求线段长等问题. （3）理解切线长的概念，掌握切线长定理. 四、知识精讲 知识点一、直线与圆的位置关系 已知的半径为r，圆心O到直线l的距离为d 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 d与r d>r d=r d<r 总结：判断直线和圆的位置关系时，常见思路有两个：一是判断直线和圆交点的个数；二是判断圆心到直线的距离和半径的大小关系. 易错点：判断位置关系时，一定要认真审题，看清题目所求的是直线与圆的位置关系还是线段、射线与圆的位置关系. 练一练、在中，以点C为圆心，r为半径画圆，当r分别取下列各值时，斜边AB所在的直线与具有怎样的位置关系？ （1） r=2cm;（2）r=2.4cm;（3）r=3cm. 知识点二、切线的判定定理 判定定理：过半径的外端并垂直于半径的直线是圆的切线. 符号语言：直径OA,直线l 注意：直线l应满足两个条件：（1）过半径的外端；（2）与半径垂直. 思考：（1）若l只过外端不垂直能判断l是切线吗？如果不是，试举反例. （2）若l只与半径垂直，能确定l是切线吗？如果不是，试举反例. 总结：证明直线是切线的思路：1、求公共点的个数；2、判断圆心到直线的距离是否等于半径；3、利用判定定理：若已知半径则证垂直；若已知垂直则证半径. 练一练1、如图，直线AB经过上的点C，并且OA=OB,CA=CB.AB是的切线吗？为什么？ 练一练2、如图，是的内接三角形，AB是的直径，与相切吗？为什么？ 知识点三、切线的性质定理 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 符号语言：的切线，A是切点 总结：已知相切即可得到垂直. 练一练、如图，AB是的弦，AO的延长线交过点B的的切线于C，如果，求的度数. 知识点四、切线长定理 定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 注意：切线长指的是线段的长度而不是线段. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 符号语言： 拓展：已知，图中你还能得到哪些等量关系？有没有垂直的线段. 练一练、如图，P是外一点，，OP交于点C，PA=4cm，PC=2cm，求的大小. 五、典例精练 题型一、直线与圆的位置关系 例1、如下图，直线AB,CD相交于点O，，半径为1cm的的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm，如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么当的运动时间t(s)满足什么条件时，与直线CD相交？ 变式1、在中，，，AO=x，点O在AB上，且的半径为1，当x在什么范围内取值时，直线AC分别与相离、相切或相交？ 变式2、在变式1中，若问题改为，当x在什么范围内取值时，线段AC分别与相离、相切或相交？ 题型二、切线的判定 例2、如图，以的边AB为直径作，如果经过AC的中点D，然后过D作，垂足为点E.DE是的切线吗？说明理由. 变式1、如图，AB是的直径，点C,D为半圆O的三等分点，过点C作，交AD的延长线于点E.求证：CE为的切线. 变式2、如图，AC是的直径，BC是的弦，点P是外一点，连接PB,AB，.（1）求证：PB是的切线；（2）连接OP，若，且，的半径为，求BC的长. 题型三、切线的性质 例3、A,B,C是上的三点，经过点A,点B分别作的切线，两切线相交于点P，如果，求的度数. 变式1、如图，已知AB是的直径，AC是弦，CD切于点C，交AB的延长线于点D，. （1）求证：CA=CD;（2）求证：BD=OB. 变式2、如图，已知AB是的切线，A为切点，AC是的弦，过O作于点H.若OH=2,AB=12,BO=13.求AC的长. 变式3、如图，从外一点A作的切线AB,AC，切点分别为B,C，且的直径BD=6，连接CD,AO.求证：. 题型四、切线长定理 例4、如图，P是外一点，PA,PB是的两条切线，A,B是切点，BC是的直径.（1）求证：；（2）如果，求的度数. 变式1、如图，PA,PB分别切于点A,B，MN切于点C，分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5cm，则的周长为（ ） A.7.5cm B.10cm C.12.5cm D.15cm 变式2、如图，直线AB,BC,CD分别与相切于点E,F,G，且 ，求：（1）的度数 （2）BE+CG的长. （3）的半径. 变式3、如图，从外一点P引圆的两条切线PA,PB，切点为A,B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA,PB分别于点M,N，若的半径为2，，求的周长. 六、课堂小结 七、课后练习 1．以等腰直角直角顶点C为圆心，的一半长为半径画圆，则与的位置关系是（       ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（          ） A． B． C． D． 3．如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线⊙O有公共点，设，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．已知的半径为5，直线与有交点，则圆心到直线的距离可能为（       ）． A．4.5 B．5.5 C．6 D．7 5．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（   ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 6．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 7．下列命题中的真命题是（　　） ①相等的角是对顶角   ②矩形的对角线互相平分且相等   ③垂直于半径的直线是圆的切线   ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 8．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 10．如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 11．如图，点A表示一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，且．如果在B，C两村庄之间修一条长的笔直公路将两村连通，那么该公路是否会穿过该森林公园？ 12．如图，点M在⊙O上. (1)过点M作⊙O的切线MN； (2)是否存在一条与MN垂直的⊙O的切线?若存在,请作出这条切线. 13．的斜边，直角边，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆和与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与相切？ 14．如图，已知P是圆O外一点，PO交圆O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，∠AOB＝120°，连接PB． （1）求BC的长； （2）求证：PB是圆O的切线． 15．如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是，，求的长． 16．如图，的半径为4，点P到圆心的距离为8，过点P画的两条切线和，A，B为切点，求的长度和的度数． 17．如图，与相切于点C，，的直径为，，求的长． 18．为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出．这张光盘的直径是多少？ 19．如图，在中，，⊙是的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$