精品解析：期中检测卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

期中检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一、选择题（共8小题） 1. 任意抛掷一枚均匀的骰子两次，记两次朝上的点数的和为m，则下列m的值中，概率最大的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 青田林业局考查一种树苗移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 5. 为创建全国文明城市，某市2019年投入城市文化打造费用2500万元，预计2021年投入3600万元．设这两年投入城市文化打造费用的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. =3600 C. D. 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 平行四边形的对角相等 C. 有一个角是的菱形是正方形 D. 矩形的对角线相等且互相平分 7. 如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接交于点P，连接和，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题） 9. 在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 _______． 10. 足球是一项非常古老运动，最早起源于中国，是全球体育界极具影响力的单项体育运动之一，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n/个 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m/个 93 192 380 561 938 1413 1878 优等品的频率 0.93 0.96 0.95 0.935 0.938 0.942 0.939 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是_________（结果精确到0.01） 11. 若关于的方程的一个根是，则代数式的值为__________． 12. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________． 13. 如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动．设运动时间为t，当时，时间_______．     14. 如图，将两条宽度都是为2纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　_________　． 15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为______． 16. 如图，矩形的对角线相交于点O作，交于点G，连接，若，则的度数是________． 三、解答题（共8小题） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 20. 某地今年种植12万千克的莲藕，计划在甲、乙两店销售，其中在乙店的销售量为（万千克），销售情况如下表： 甲店 乙店 利润（万元/万千克） 2 （1）若在甲店销售莲藕2万千克，求销售完这批莲藕的获利总数； （2）若该地销售完所有莲藕后，共获利28.8万元，求的值． 21. 如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． （1）求证：是的中点； （2）求证：四边形为矩形． 22. 如图，为中一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 23. 如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是正方形； （3）若四边形的面积为10，，求点之间的距离． 24. 如图1，在正方形ABCD中，E为CB延长线上的一点，且，M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于点O，交MN于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，过点A作AP垂直ED于点P，连接BP，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一、选择题（共8小题） 1. 任意抛掷一枚均匀的骰子两次，记两次朝上的点数的和为m，则下列m的值中，概率最大的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中和为的情况有4种，和为6的情况有5种，和为7的情况有6种，和为8的情况有5种， ∴和为的概率为，和为6的概率为，和为7的概率为，和为8的概率为， ∵， ∴和为7的概率最大， 故选：C． 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的分母含未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．未知数x的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； D．中未知数的最高次项的次数是3，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 3. 青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率． 由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：B． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等实数根， 故选：． 5. 为创建全国文明城市，某市2019年投入城市文化打造费用2500万元，预计2021年投入3600万元．设这两年投入城市文化打造费用的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. =3600 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，根据“2021年投入3600万元”可得出方程．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，掌握平均增长率问题的一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量是解决问题的关键． 【详解】解：∵某市2019年投入城市文化打造费用2500万元，这两年投入城市文化打造费用的年平均增长百分率为x， ∴2021年的投入为， ∵2021年投入3600万元， ． 故选：C． 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 平行四边形的对角相等 C. 有一个角是的菱形是正方形 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及特殊平行四边形的性质及判定，熟练掌握相关图形的性质及判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故本选项的说法错误，符合题意； B、平行四边形的对角相等，故本选项的说法正确，不符合题意； C、有一个角是的菱形是正方形，故本选项的说法正确，不符合题意； D、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项的说法正确，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 8. 如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接交于点P，连接和，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质， 延长交于G，证明，推出，证得，再证，由此证得，得到为斜边上的中线，列得，求出 【详解】解：延长交于G，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵E，F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题（共8小题） 9. 在一个不透明袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 _______． 【答案】8个 【解析】 【分析】本题考查了用大量试验得到的频率估计事件的概率．关键是利用红球的概率公式列方程求解得到红球的个数． 设袋中红球大约有x个，根据摸到红球的频率稳定在0.2左右列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球大约有x个， 由题意知：， 解得， ∴袋中红球大约有8个． 故答案为：8个． 10. 足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界极具影响力的单项体育运动之一，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n/个 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m/个 93 192 380 561 938 1413 1878 优等品的频率 0.93 0.96 0.95 0.935 0.938 0.942 0.939 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是_________（结果精确到0.01） 【答案】0.94 【解析】 【分析】由表中数据可判断频率在0.94左右摆动，于是利用频率估计概率可判断任意抽取一只足球是优等品的概率为0.94． 【详解】解：从这批足球中，任意抽取一只足球是优等品的概率的估计值是0.94． 故答案为：0.94 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 11. 若关于的方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为，根据“2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该地区农村这两年新开通燃气年平均增长率为． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动．设运动时间为t，当时，时间_______．     【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足，设运动时间为秒，用表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：当运动时间为t时，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 14. 如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　_________　． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，根据折叠的性质易知，重合部分为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F．则． ∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是2， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，即四边形是菱形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长． 【详解】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=OC=6，BO=DO，AC⊥BD， ∴， ∴BD=16， ∵S菱形ABCD=AB•DE=AC•BD， ∴DE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理．根据勾股定理求得BO=8是解题的关键． 16. 如图，矩形的对角线相交于点O作，交于点G，连接，若，则的度数是________． 【答案】16° 【解析】 【分析】根据矩形的性质有，结合，可知是的垂直平分线，即有，则有，根据，可得，进而有的度数，则求出，即问题得解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，且相互平分，， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中有， ∵在矩形中°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16°． 【点睛】本题考查了矩形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行的性质等知识，根据矩形的性质得出是的垂直平分线是解答本题的关键． 三、解答题（共8小题） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 配方得，即， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则；若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 20. 某地今年种植12万千克的莲藕，计划在甲、乙两店销售，其中在乙店的销售量为（万千克），销售情况如下表： 甲店 乙店 利润（万元/万千克） 2 （1）若在甲店销售莲藕2万千克，求销售完这批莲藕的获利总数； （2）若该地销售完所有莲藕后，共获利28.8万元，求的值． 【答案】（1）66万元 （2）的值为3或8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列式计算是解题的关键． （1）因为今年种植12万千克的莲藕，在甲店销售莲藕2万千克，则在乙店销售莲藕10万千克，再结合销量与单价利润乘积即为总利润，进行列式计算，即可作答． （2）结合销量与单价利润乘积即为总利润，进行列式，然后计算，则即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（万元）， ∴在甲店销售莲藕2万千克，销售完这批莲藕获利为万元； 【小问2详解】 解：依题意，， 则， 解得 ∴该地销售完所有莲藕后，共获利28.8万元，的值为3或8． 21. 如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． （1）求证：是的中点； （2）求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论； （2）若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：是的中点， ∵， ， ， 又， ，即是的中点； 【小问2详解】 证明：，， 四边形是平行四边形 ，， 即 四边形是矩形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键． 22. 如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 23. 如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是正方形； （3）若四边形的面积为10，，求点之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）证明，得，即可得出结论； （3）由正方形的面积为10，得出， 再由勾股定理求出KE=3，即可由勾股定理求得AE长． 【小问1详解】 证明：∵四边形和都是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∴， 由（1）同理可得：， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问3详解】 解：∵四边形的面积为10， 又由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点之间的距离为5． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 24. 如图1，在正方形ABCD中，E为CB延长线上的一点，且，M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于点O，交MN于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，过点A作AP垂直ED于点P，连接BP，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用ASA证明即可； （2）延长BC至F，且使，连接AF、DF，利用SAS证明，得出，由MN为的中位线得，利用平行线的性质即可证明； （3）过点B作交DE于Q，利用ASA证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴（ASA）， ∴； 【小问2详解】 证明：延长BC至F，且使，连接AF、DF，如图1所示： 则， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵，， ∴N为EF的中点， ∴MN为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：过点B作交DE于Q，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得：， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，正确作辅助线，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$