第9课时3.1圆的对称性学案2024-2025学年青岛版数学九年级上册

第9课时 3.1圆的对称性 一、温故知新 （1）圆的定义：到平面内定点的距离等于 的点的集合.其中，定点称为圆的 . （2）圆的相关概念： 1、半径： 的距离，常用“r”表示. 2、弦： . 3、直径： 的弦.常用“d”表示. 4、弧： .弧AB的数学符号表示为 . 优弧： ；劣弧： . （3）计算： 圆的周长l= ；圆的面积S= . 二、预习检测 （1）圆是轴对称图形，每一条 所在的 都是它的对称轴. （2）垂径定理： 的 弦以及弦所对的 . （3）圆是 对称图形.对称中心是 . （4）顶点在 的角叫圆心角. （5）在 中，如果两个 、 、 中有一组量相等，那么它们所对应的 . 牛刀小试1、如图，在直径为20cm的圆柱形油桶内装入一些油后，如果油的最大深度为4cm，那么油面宽度AB= . 牛刀小试1图 牛刀小试2图 牛刀小试2、如图，AB是的直径，，，则. 牛刀小试3、弦AB把分成两条弧，它们的度数比为4:5，M为AB的中点，则的度数为（ ） A.50° B.80° C.100° D.160° 三、学习目标 （1）理解圆的轴对称性、中心对称性，理解圆心角的涵义. （2）掌握垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角定理. （3）能运用定理、关系求角的大小或线段的长. 四、知识精讲 知识点一、圆的对称性 （1）轴对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴. 注意：圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. 练一练1、下列说法中，不正确的是（ ） A.圆是轴对称图形 B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 （2）中心对称性 圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 注意：圆以圆心为旋转中心，旋转任意方向和角度均与原图形重合. 练一练2、以下图形是轴对称图形的有 ；是中心对称图形的是 . 知识点二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 符号语言： 注意：线平分弦、弧的前提是：线过圆心且与弦垂直，两个条件缺一不可. 思考：平分弦的直径是否垂直于弦？如果不是，请举出反例. 推广：（1）线过圆心；（2）线垂直于弦（非直径）；（3）线平分弦；（4）线平分弦所对的优弧；（5）线平分弦所对的劣弧.以上五个命题中，已知其中两个，即可推出另外三个.简记为“知二推三”. 练一练、如图所示，过点B,C，圆心O在等腰直角三角形ABC内部，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 知识点三、圆心角及圆心角、弧、弦之间的关系 定义：顶点在圆心上的角叫圆心角. 注意：圆心角的顶点必须在圆心上，而不仅仅是圆的内部. 练一练1、下列图形中是圆心角的是（ ） A. B. C. D. 关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 思考：在关系中，“同圆或等圆”这一条件去掉，结论是否还成立？ 练一练2、如图所示，AB为的弦，C,D是弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC,OD分别交于E,F. 求证：. 知识点四、圆心角定理 定义：整个圆的 叫1°的弧. 定理：圆心角度数与它所对弧的度数相等. 注意：弧的度数与圆的大小无关，只与它所对圆心角的大小有关. 思考：等弧与度数相等的弧是一个意思吗？ 五、典例精练 题型一、垂径定理 例1、 如图，以的顶点O为圆心的交AB于点C,D，且AC=BD.求证：OA=OB. 变式1、过点A作的弦，使点A是弦的中点，并说明作图的理由. 变式2、的半径为13cm，弦求AB与CD之间的距离. 变式3、已知的半径为5，P是圆O内一点，且OP=3,过点P作圆O的一条弦AB，则AB的值不可以是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 例2、1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m.求桥拱所在圆的半径. 变式1、一圆拱形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为 m. 变式2、在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，那么圆柱形油槽直径MN为（ ） A.6分米 B.8分米 C.10分米 D.12分米 题型二、圆心角、弧、弦的关系 例3、如图，AB与DE是的两条直径，C是上一点，.求证： （1）；（2）BE=EC. 变式1、如图，，C,D是的三等分点，AB分别交OC,OD于点E,F，求证：AE=CD. 变式2、如图，在中，弦AB,CD相交于点P，若，AB=CD，，求的度数. 变式3、如图，在中，，于点D，求证：AB=2AD. 题型三、圆心角定理 例4、如图，OA,OC是中两条垂直的半径，D是上的一点.连接AD并延长与OC的延长线相交于点B，.求的度数. 例5、在中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长. 变式1、在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为（ ） A.90° B.145° C.270° D.90°或270° 变式2、若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数为（ ） A.120° B.60° C.120°或240° D.60°或300° 变式3、如图，点C是的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若的度数为35°，则的度数为 . 变式4、如图，AB为的弦，半径OC,OD分别交AB于点E,F.且. 求证：（1）AE=BF.（2）作半径于点M，若AB=12,MN=3，求OM的长. 六、课堂小结 七、课后练习 1．如图，在⊙O中，弦的长是，弦的弦心距为6cm，是⊙O优弧上一点．则的度数为（       ） A．60° B．45° C．30° D．80° 2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（       ） A．9cm B．6cm C．3cm D．cm 4．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 5．如图，点A、B、C、D、E在上，且弧AB为，则________． 6．半径为2cm的中，弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为 ____． 7．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 8．如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答． (1)求证：OA垂直平分MD. (2)若，求∠MON的度数. (3)若，，求MN的长度． 9．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 10．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到） 11．往直径为的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面宽，求油的最大深度． 12．如图，是的直径，．求的度数． 13．如图，在半径为的中，弦长．求： （1）的度数； （2）点O到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$