第8课时 2.5解直角三角形学案2024-2025学年青岛版数学九年级上册

第8课时 2.5解直角三角形的应用 一、温故知新 （1）什么是解直角三角形？ （2）直角三角形中元素间的关系为？如在中， ①角： . ②边： . ③边与角： ； ； . 二、预习自测 （1）从低处观测高处目标时，视线与 所成的 叫仰角；从高处观测低处目标时，视线与 所成的 叫俯角. （2）如图， B在A的 方向； C在A的 方向； D在A的 方向. （3）对于斜坡AB， 叫 ； 坡度 ； 坡度与的关系为 . 牛刀小试1、升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为，若两眼距离地面1.2m，则旗杆的高度为 . 牛刀小试2、某人沿坡度的斜坡前进100米后，他所在的位置比原来的位置升高了 米. 三、学习目标 （1）掌握俯角、仰角、方向角、坡度、坡角的概念. （2）会运用解三角形的相关知识求解实际中的高度、距离等问题. （3）渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生应用数学的意识. 四、知识精讲 知识点一、俯仰角 通过测量物体影子的长度可以计算物体的高度，还有其他方法测量物体高度吗？能不能通过测量角计算物体的高度呢？ 定义：从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角叫仰角；从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角叫俯角. 练一练、如图，在离铁塔BC150米的A处，侧倾仪测得塔顶B的仰角为，侧倾仪的高为1.5米，则塔高BC为？ 知识点二、方向角 以观察者的位置为中心，正北或正南方向旋转到目标方向线所成的角.通常表示成北（南）偏东（西）多少度.如北偏西30°，南偏东50°. 注意：一般描述方向角时，南北在前，东西在后.但是若所成角为45°，如北偏东45°，则说成东北方向. 练一练、如图，线段AB的长代表单位长度，已知（1）N在M点北偏东30°方向，1单位长度处；（2）O在M点西南方向，2单位长度处；（3）P在M点正西方向，3单位长度处.在图中标出N,O,P的位置. 知识点三、坡度、坡角 数学上如何描述坡的陡缓呢？ 定义：如图斜坡AB h:表示A、B的高度差 l:表示A、B的水平距离. 则叫坡度（或坡比），常用i来表示. 成为坡角. 注意：坡度与坡角是两个不同的概念.坡角是角度；坡度是比值.坡度等于坡角的正切值. 练一练、拦水坝的横断面为梯形ABCD，如图所示，求的长. 五、典例精练 题型一、俯仰角、夹角问题 例1、如图，一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标3.0km.求飞机在A处观测目标B的俯角. 例2、武汉长江二桥为斜拉索桥，AB和AC分别是直立塔AD左右两边的两根最长的钢索.已知，AB与BC的夹角为30°，求钢索AB的长及直立塔AD的高（精确到0.1m） 变式1、人字梯为现代家庭常用的工具，若AB,AC的长都为2m，当时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m. 变式1图 变式2图 变式2、如图，在电线杆离地面6米高的C处向地面拉缆绳，缆绳和地面成63°角，求缆绳AC的长. 变式3、汶川地震后，抢险队派一架直升机去A,B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°，求A,B两个村庄之间的距离. 变式4、要测量铁塔AB的高，在地面上选取一点C，在A,C两点间选取一点D，测得，在C,D两点处分别用测角仪测得铁塔顶端B的仰角为.测角仪支架的高为1.2m，求铁塔的高. 题型二、方向角问题 例3、如图，某轮船由西向东正方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，航行到点B处望见灯塔C在北偏西方向，又航行了半小时到达D处，望见灯塔C恰好在西北方向，若轮船的速度为40海里/时，求A,B之间的距离. 变式1、如图，机器人从A点从发，沿着西南方向行进个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A点的坐标为 . 变式2、如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处向东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离 PC= 米. 题型三、坡度问题 例4、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝.大坝的横断面ABCD是梯形，坝顶宽BC=6m，坝高25m，迎水坡AB的坡度i=1:3,背水坡CD的坡度i=1:2.5. （1）求斜坡AB和CD的长. （2）求拦水大坝的底面AD的宽. 变式、为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造，已知四边形ABCD为矩形，DE=10m，其坡度，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为，求斜坡AF的长度. 题型四、遮阳、拆除、触礁等问题 例5、住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一.如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m.已知当地冬至这天中午12点太阳光线与地面所成的角是35°. （1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米？ （2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？说明理由. 变式1、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为.若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？ 变式2、如图，一艘渔船正以海里/时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°. （1）求小岛C到航线AB的距离. （2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进入危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？ 六、课堂小结 七、课后练习 1．如图，点P，A，B，C在同一平面内，点A，B，C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为 ___千米． 2．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）． 3．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角．求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）． 4．如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度是指DE与CE的比．根据图中数据． 求：（1）坡角和的度数； （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）． 5．如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是，大门距主楼的距离是．在大门处测得主楼顶部的仰角是，而当时测倾器离地面．求（1）学校主楼的高度（结果精确到）； （2）大门顶部与主楼顶部的距离（结果精确到）． 6．如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到） 7．一根长的竹竿斜靠在墙上． （1）如果竹竿与地面成角，那么竹竿下端离墙脚多远？ （2）如果竹竿上端顺墙下滑到高度处停止，那么此时竹竿与地面所成锐角的度数是多少？ 8．如图，老旧小区供热管网提升改造是一项民生工程．供暖公司要新建一条从M地到N地的供暖管道，测得N点位于M点的南偏东30°，A点位于M点的南偏东60°，以A点为中心，半径为50米的圆形区域地下为人防工程．在B点测得，A点位于M点南偏东75°的方向上，米，请计算后回答该供暖管道是否会穿越人防工程．（参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $$