第3课时 1.3相似三角形的性质学案2024-2025学年青岛版数学九年级上册

第3课时 1.3相似三角形的性质 一、温故知新 （1）证明三角形相似的定理: ①定理1： . ②定理2： . ③定理3： . （2） （3）若，则与的相似比为 或 或 . 二、预习检测 （1）相似三角形对应边上高的比为 ，对应边上中线的比为 ，对应边上角平分线的比为 . 牛刀小试1、已知，边上的中线，则边上中线 . （2）相似三角形周长的比为 ，相似三角形面积的比为 . 牛刀小试2、已知两相似三角形的相似比为，其中较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为 . 三、学习目标 （1）掌握相似三角形对应线段、面积的比与相似比的关系. （2）熟练掌握相似三角形相似的性质，会运用性质求线段的长或三角形的面积等. （3）能运用相似三角形的性质解决实际问题，如测距、测高度等. （4）通过推导相似三角形的性质，培养严谨的思维方式. 四、知识精讲 思考： （1）对于三角形，除了三角形的边，还学过哪些三角形中的线段？ （2）若两三角形全等，则其对应角、对应边、对应线段有什么关系？若两三角形相似，又有哪些性质？ 知识点一、相似三角形对应边上高的比 已知且相似比为，分别是的高，求证：. 证明： 总结：相似三角形对应边上高的比等于 . 符号： 思考：若且相似比为，是边上的高，是边上的高，则的比还等于吗？为什么？ 知识点二、相似三角形对应边上中线的比 已知且相似比为，分别是的中线，求证：. 证明： 总结：相似三角形对应边上中线的比等于 . 符号： 知识点三、相似三角形对应边上角平分线的比 已知且相似比为，分别是的角平分线，求证：. 证明： 总结：相似三角形对应边上角平分线的比等于 . 符号： 练一练1、已知，，边上中线,边上的高，则边上的中线 ，边上的高 . 知识点四、相似三角形周长的比 已知且相似比为，分别是的周长，求证：. 证明： 总结：相似三角形周长的比等于 . 符号： 归纳：相似三角形 的比等于相似比. 练一练2、两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形周长分别是（ ） A.45cm,85cm B.60cm,100cm C.75cm,115cm D.85cm,125cm 练一练3、两个相似三角形的面积比是4:9，其中一个三角形的周长是24cm，则另一个三角形的周长是（ ） A.16cm B.16cm或28cm C.36cm D.16cm或36cm 知识点五、相似三角形面积的比 已知且相似比为，分别是的面积，求证：. 证明：作. 总结：相似三角形面积的比等于 . 练一练4、两个相似三角形对应边的比是2:3，它们面积的和为，求较大的三角形的面积. 五、典例精练 题型一、求周长或面积 例1、在中，的面积为48，求的面积. 变式1、已知在平行四边形中，，求： （1）与的周长比. （2）. 题型二、求面积的比 例2、如图所示，在中，，求. 变式1、如图所示，，若， 则 . 题型三、相似性质的综合应用 例3、有一块锐角三角形预料ABC，它的边BC=12cm,高AD=8cm.先要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB,AC上，求裁出的正方形工件的边长. 变式1、把沿边平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是多少？ 题型四、相似三角形性质的实际应用 例4、为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住.已知小亮的身高BC=1.6m，此时，他的影子的长AC=1m，他距水塔的底部E处11.5m，水塔的顶部为点D，根据以上的数据，你能算出水塔的高度DE是多少吗？ 变式1、小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自己影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ） A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米 变式1图 变式2图 变式2、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为（ ） A.4.2米 B.4.8米 C.6.4米 D.16.8米 六、课堂小结 七、课后练习 1、在 中，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2、平行于BC的直线DE把分成面积相等的两部分，则（ ） A.1 B. C. D. 3、如图所示，，若，则的比为（ ） A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:25 4、如图所示，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形的面积分别是4,9,49，则的面积为 . 5、如图，，，则. 5题图 6题图 6、在 中，，的周长为10cm，求梯形BCFE的周长. 7、在 中，分成了面积相等的两部分，则（ ） A. B. C. D. 8、如图，在平行四边形中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，.（1）求证.（2）若的面积为2，求平行四边形的面积. 9、已知是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB,AC上. （1）若这个矩形是正方形，则边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则长和宽各是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$