第6章 反比例函数 专题练习 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

北师大九年级上册反比例函数专题练习 一．反比例函数的定义（共4小题） 1．已知函数是反比例函数，则　　． 2．下列函数中，是关于的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 3．下列关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值是　　 A．2 B． C．2或 D．无法确定 二．反比例函数的图象（共2小题） 5．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 6．函数与在同一平面直角坐系内的图象可能是　　 A． B． C． D． 三．反比例函数的性质（共4小题） 7．若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．关于反比例函数，下列说法中错误的是　　 A．时，随的增大而减小 B．当时， C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，有最小值为 9．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 　　． 10．在函数的学习，我们经历了“函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： 0 2 3 5 1 2 4 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当 　　时，随的增大而 　　（填“增大”或“减少” ； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 　　； （3） 函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是 　　． 四．反比例函数系数k的几何意义（共5小题） 11．如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为3，则的值为 　　． 12．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，若的面积为1，则的值为　　 A．2 B．1 C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数图象于，两点，轴于点，的面积为6，则的值为 　　． 14．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为　　 A．18 B．36 C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数）的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若△的面积为5，则 　　． 五．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题） 16．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 17．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过　　 A． B． C． D． 18．点，，，，，在双曲线上，若，则，，的关系是　　 A． B． C． D． 19．已知反比例函数的图象上随的增大而减小，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 20．已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，，若，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 21．如图，平面直角坐标系中，点，，，，点在函数的图象上，则的值为　　 A．9 B．14 C．30 D．35 22．若点，，，都在反比例函数的图象上，则　　 （填、或． 23．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，连接，，过点作轴于点，，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点．则线段的长为 　　． 六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题） 24．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，△的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 　　． 25．如图，是反比例函数的图象上的点．过点分别向、轴作垂线，所得到的图中阴影部分面积为6，则反比例函数的解析式为 　　． 26．已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求时，的值． 七．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题） 27．如图，一次函数与反比例函数图象交于，两点，则不等式解集是　　 A． B．或 C．或 D． 28．如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是 　　． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若是轴上一点，且满足△的面积是6，请求出点的坐标． 30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△的面积； （3）直接写出不等式的解集． 31．如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点． （1）求的值； （2）若，根据图象直接写出当时的取值范围； （3）点在线段上，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，若的面积为1，求点的坐标． 八．反比例函数综合题（共3小题） 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，，，点的坐标为 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）是轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 33．如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数表达式． （2）求的面积． （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 34．如图，双曲线经过△斜边的中点，交直角边于点，连接，点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）求证：△△． 北师大九年级上册反比例函数专题练习 参考答案与试题解析 一．反比例函数的定义（共4小题） 1．已知函数是反比例函数，则　　． 【考点】反比例函数的定义 【分析】由反比例函数的定义得到且，由此求得的值． 【解答】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是或． 2．下列函数中，是关于的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数的定义 【分析】根据反比例函数的定义，进行判断作答即可． 【解答】解：．是是关于的正比例函数，错误，故不符合要求； ．是是关于的反比例函数，正确，故符合要求； ．不是是关于的反比例函数，错误，故不符合要求； ．不是是关于的反比例函数，错误，故不符合要求； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握形如为常数且的函数是反比例函数是解题的关键． 3．下列关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数的定义 【分析】根据反比例函数的定义判断即可． 【解答】解：．，是正比例函数，故不符合题意； ．是二次函数，故不符合题意； ．，是的反比例函数，故符合题意； ．，不是的反比例函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值是　　 A．2 B． C．2或 D．无法确定 【考点】反比例函数的性质；反比例函数的定义 【分析】根据反比例函数的定义可得，根据反比例函数的性质可知，由此即可得到答案． 【解答】解：的图象位于第一、三象限， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义和性质，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． 二．反比例函数的图象（共2小题） 5．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象 【分析】分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得． 【解答】解：当时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故符合题意； 当时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，没有符合题意的． 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键． 6．函数与在同一平面直角坐系内的图象可能是　　 A． B． C． D． 【考点】正比例函数的图象；反比例函数的图象 【分析】根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及正比例函数一次项系数的符号，看是否一致即可得到答案． 【解答】解：当时，的图象经过第二、第四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限， 当时，的图象经过第一、第三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限， 选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数图象与反比例函数图象综合，熟练掌握正比例函数与反比例函数性质是关键． 三．反比例函数的性质（共4小题） 7．若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数的性质 【分析】先根据函数的图象在第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：函数的图象在第二、四象限， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数的图象在第二、四象限是解答此题的关键． 8．关于反比例函数，下列说法中错误的是　　 A．时，随的增大而减小 B．当时， C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，有最小值为 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可． 【解答】解：、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，则有最小值为，故本选项正确，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 　　． 【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质 【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则，求出的取值范围即可． 【解答】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限， 则， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一三象限；时，函数位于二四象限． 10．在函数的学习，我们经历了“函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： 0 2 3 5 1 2 4 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当 　或　时，随的增大而 　　（填“增大”或“减少” ； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 　　； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是 　　． 【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质 【分析】（1）画出函数图象即可； （2）根据图象和性质填空即可； （3）根据平移后的图象位置解答不等式的解集即可．①①① 【解答】解：（1）函数图象如图： （2）①当或时，随的增大而增大（填“增大”或“减少” ； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为； 故答案为：①，增大；②． （3）当时，的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 四．反比例函数系数k的几何意义（共5小题） 11．如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为3，则的值为 　　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数的几何意义 【分析】利用反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定的值． 【解答】解：轴， ， 而， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 12．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，若的面积为1，则的值为　　 A．2 B．1 C． D． 【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】由的几何意义可得，，再结合图象可得的值． 【解答】解：根据题意可得， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数图象的特点是解本题的关键，难度适中． 13．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数图象于，两点，轴于点，的面积为6，则的值为 　　． 【考点】反比例函数系数的几何意义 【分析】根据反比例函数的对称性和反比例函数系数的几何意义，可求出，再根据图象所在的象限确定的值即可． 【解答】解：由对称性可知，， ， 轴，的面积为6， ， 又， ， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义以及反比例函数的性质是正确解答的关键． 14．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为　　 A．18 B．36 C． D． 【考点】关于轴、轴对称的点的坐标；反比例函数系数的几何意义 【分析】根据点与点关于轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数的几何意义可求出的值． 【解答】解：连接， 点是点关于轴的对称点， ， ， 的面积为18， ， ． 又反比例函数的图象在第二象限， ． 故选：． 【点评】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，反比例函数比例系数的几何意义，求出的面积是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数）的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若△的面积为5，则 　10　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数的几何意义 【分析】根据点在反比例函数的图象上，轴于，由反比例函数比例系数的几何意义得，然后根据△的面积为5可得出的值． 【解答】解：点在反比例函数的图象上，轴于， ， ， △的面积为5， ， ， ． 故答案为：10． 【点评】本题考查反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键． 五．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题） 16．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】由题意，首先根据的坐标求出，然后可设，再由正方形，建立关于的方程，进而得解． 【解答】解：点的坐标为在反比例函数上， ． ． 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图象上， 可设， ， 正方形， ， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 17．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】双曲线经过点，可知点的横纵坐标的积为，由反比例函数图象上的点的坐标的特点可知双曲线经过的点． 【解答】解：双曲线经过点， ， ，故反比例函数过该点，符合题意； ．，故反比例函数图象不过该点，不符合题意； ．故选项不符合题意； ．故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键． 18．点，，，，，在双曲线上，若，则，，的关系是　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据的图象和性质进行解答即可． 【解答】解：由解析式可知：当时，图象在第一象限内，随着的增大而减小，且； 当时，图象在第三象限内，随着的增大而减小，且， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 19．已知反比例函数的图象上随的增大而减小，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数的图象和性质求解即可． 【解答】解：在每个象限内反比例函数随的增大而减小， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质．对于反比例函数，当时，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，随着的增大而增大，熟练掌握该知识点是关键． 20．已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，，若，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】先判断图象所在的象限，然后由反比例函数的增减性判断，，的大小关系． 【解答】解：， 函数在第二、四象限，在各个象限内随的增大而增大， 反比例函数的图象上有三个点，，，，，，且， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 21．如图，平面直角坐标系中，点，，，，点在函数的图象上，则的值为　　 A．9 B．14 C．30 D．35 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】利用△△求出和，得到点坐标即可求出值． 【解答】解：作轴，垂足为点， ，， △△， ， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 22．若点，，，都在反比例函数的图象上，则　　 （填、或． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】将点，，，分别代入反比例函数，求得，的值后，再来比较一下它们的大小． 【解答】解：点，，，都在反比例函数的图象上， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 23．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，连接，，过点作轴于点，，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点．则线段的长为 　　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据勾股定理得，可得点的坐标，继而确定的值，即可得解． 【解答】解：轴，，， ， 点的坐标为，点的坐标为， 点和点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ， 线段的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求得点的纵坐标是解题的关键． 六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题） 24．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，△的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 　　． 【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式 【分析】反根据比例函数图象上点与坐标轴垂线及原点围成三角形面积等于直接求解即可得到答案． 【解答】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，△的面积为3， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数的几何意义，熟知反比例函数图象上点与坐标轴垂线及原点围成三角形面积等于是解题的关键． 25．如图，是反比例函数的图象上的点．过点分别向、轴作垂线，所得到的图中阴影部分面积为6，则反比例函数的解析式为 　　． 【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式 【分析】设出点的坐标，阴影部分面积等于点的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【解答】解：设点，点在反比例函数的图象上， ， 点在第四象限， ， 反比例函数解析式为：； 故答案是：． 【点评】本题考查反比例函数中的比例系数的意义，熟练掌握该知识点是关键． 26．已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求时，的值． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【分析】首先根据正比例和反比例的定义可得，再把，；，代入得到关于、的方程组，再解可得、的值，进而可得与的解析式，再把代入计算出的值即可． 【解答】解：与成正比例， ， 与成反比例， ， ， ， 当时，；当时，， ， 解得：， ， 当时，． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确表示出与的关系式． 七．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题） 27．如图，一次函数与反比例函数图象交于，两点，则不等式解集是　　 A． B．或 C．或 D． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】利用图象法确定不等式的解集即可． 【解答】解：由图象可知，不等式的解集为：或． 故选：． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握图象法确定不等式的解集是关键． 28．如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是 　或　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以当时，则的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若是轴上一点，且满足△的面积是6，请求出点的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）作轴于，根据即可求出的长，进而求出点的坐标． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，点， ．． 反比例函数的解析式是，， 一次函数的图象经过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）如图，作轴于，则， ， 解得：， 点的坐标为或． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握以上知识点是关键． 30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． （2）在一次函数中，令，则， ， ； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 31．如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点． （1）求的值； （2）若，根据图象直接写出当时的取值范围； （3）点在线段上，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，若的面积为1，求点的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）根据一次函数解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得的值； （2）解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，然后根据图象求得即可； （3）设，则，得到，由的面积为1即可求得的值，从而求得点的坐标． 【解答】解：（1）一次函数的图象与过点， ， 点， 点在反比例函数的图象上， ； （2）由，解得或， ， 若，当时的取值范围是； （3）设，则， ， 的面积为1， ，即， 整理得， 解得或3， 点的坐标为或． 【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系以及三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 八．反比例函数综合题（共3小题） 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，，，点的坐标为 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）是轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【考点】反比例函数综合题 【分析】（1）设：，，则，解得：，故点，故反比例函数的表达式为：，故，将点、的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）的面积； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1），， 设：，，则，解得：， 故点， 则， 故反比例函数的表达式为：，故， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得：， 故一次函数的表达式为：； （2）设一次函数交轴于点， 的面积； （3）设点，而点、的坐标分别为：、， ，，， 当时，，解得：或0（舍去； 当时，同理可得：； 当时，同理可得：； 综上，点坐标为：或或或． 【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰三角形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． 33．如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数表达式． （2）求的面积． （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题 【分析】（1）将代入的得，于是得到反比例函数的解析式为，将，代入解方程组即可得到结论； （2）过作轴于点，过作轴于点，得到，于是得到结论； （3）根据点与点关于原点对称，得到，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）将代入的得， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）过作轴于点，过作轴于点 ，，，， 的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积， 的面积梯形的面积； （3）解：延长交反比例函图象于点， 点与点关于原点对称， ， 设， ，，， ①当时，， ， 解得， ，或，； ②当时，， ， 解得， ； ③当时，， ， 解得， ， 综上所述，，或，或或． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 34．如图，双曲线经过△斜边的中点，交直角边于点，连接，点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）求证：△△． 【考点】反比例函数综合题 【分析】（1）根据中点坐标公式得出点坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）由（1）可求出，代入设直线的解析式为，即可求解； （3）根据，点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 【解答】（1）解：双曲线经过△斜边的中点，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ； （2）解：△为直角三角形， 轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， 点的坐标为． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为； （3）证明：由（2）知点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 又， △△． 【点评】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$