11.2三角形的内角 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 学习目标 1.能运用平行线的性质证明三角形的内角和定理． 2.熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角互余、 有两个角互余的三角形是直角三角形的结论解决问题． 3.理解三角形外角的概念． 4.通过探索三角形的外角的性质及其应用，培 养主动探索、勇于发现及合作交流的习惯． 情景引入 三角形的三个内角和是多少？ 把三角形的三个角拼在一起试试看？ 你有什么办法可以验证呢？ 180° 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗？ 动手操作 4 2 1 F E C B A 已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°. 证法1 过A作EF∥BC， ∴∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）． ∠C=∠1（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°． 探究新知 2 1 E D C B A 延长BC 到D，过C作CE∥BA， ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）． ∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°． 已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°. 证法2 探究新知 6 过A作AE∥BC， ∴∠B=∠BAE （两直线平行，内错角相等）， ∠EAB+∠BAC+∠C=180° （两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B+∠C+∠BAC=180°． 已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°. 证法3 探究新知 E C B A 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°． 探究新知 A B C 在直角三角形ABC中，∠C＝90°． 由三角形内角和定理，得 ∠A+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+90°=180°， 所以∠A+∠B=90°． 也就是说，直角三角形的两个锐角互余． 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC． 拓展新知 9 在三角形ABC中，∠A+∠B=90°， 由三角形内角和定理，得， ∠A+∠B+∠C=180°， 即90°+∠C=180°， 所以∠C=90°． 也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形． 拓展新知 A B C A D B C 【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝ 75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数． 　　分析：要想求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理，只要求出∠DAB的度数即可．由于∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，所以很容易得出∠DAB＝20°． 例题解析 A D B C 解：∵AD平分∠CAB，∠BAC=40°， ∴∠DAB= ∠BAC=20°， ∵∠B=75°， ∴∠ADB=180°－∠DAB－∠B =180°－20°－75° =85°． 例题解析 A D B C E 北 北 【例2】如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛 的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向， C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的 视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角 ∠ACB是多少度？ 分析：怎样求出∠ACB的度数？根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠ABC的度数即可． 例题解析 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°． ∵AD∥BE， ∴∠BAD+∠ABE=180°． ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°． ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°． 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看AB两岛的视角∠ACB=90°． A D B C E 北 北 例题解析 D A B C 1．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5， 求这三个内角的度数． 2．如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B 处观测C处时仰角∠CBD＝45°．从C处观测A，B 两处时视角∠ACB是多少度？ 课堂练习 例题解析 1.解：设三个内角度数分别为：x，3x，5x． 列出方程，得x＋3x＋5x＝180°． 解得：x＝20° 答：三个内角度数分别为20°，60°，100° 过点C作CF∥AD， ∴∠1＝∠DAC＝50°， ∵CF∥AD，AD∥BE， ∴CF∥BE． ∴∠2＝∠CBE＝40° ∴∠ACB＝∠1+∠2＝50°+40°＝90°． 2.你能想出一个更简捷的方法来求∠ACB的度数吗？ 1 2 F A D B C E 北 北 例题解析 A B C D 如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？ ∠A，∠B，∠C，它们的和是180°． 若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与 △ABC的三个内角有什么关系？ 情景导入 　　三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． ∠ACD叫做△ABC的外角． 探究新知 A B C D 三角形的外角共有几个？ 每个顶点处有两个外角，它们是对顶角． 六个． 探究新知 A B C D (1)三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，它与另外两个角有怎样的数量关系呢？ 延长BC到D，过C作CE∥BA ． ∵CE∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2． 又∠ACD=∠1+∠2， ∴∠ACD=∠A+∠B． 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 探究新知 A B C E 1 2 D （2）选择: ∠ACD ∠A（＞，＜）； ∠ACD ∠B（＞，＜）． 探究新知 ＞ ＞ 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． 小结归纳： 三角形的外角与内角的关系： （1）三角形的一个外角与它相邻的内角互补； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和. （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． 三角形的外角 【例】如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是三角形ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 例题解析 A B C D E F 解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和，得 ∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD =2(∠1+∠2+∠3)． 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°． A B C 例题解析 D E F 1 2 3 解法2： 由∠BAE +∠1 =∠CBF +∠2 =∠ACD+∠3=180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD =3×180°-(∠1+∠2+∠3) =540°-180° =360°． 例题解析 A B C D E F 1 2 3 解法3： 过点A作AG平行于BC， ∴∠CBF=∠BAG， 　∠ACD=∠EAG （两直线平行，同位角相等）． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD ＝∠BAE＋∠BAG＋∠EAG =360°． 三角形外角的和等于360°． 例题解析 A B C D E F G （1）三角形的外角和是指三角形所有外角的和．（ ） （2）三角形的外角和等于它内角和的2倍．（ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和．（ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角．（ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角．（ ） × √ √ √ × × 课堂练习 1.判断正误： 课堂练习 2．如果三角形的一个外角与它不相邻的 两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的 内角的度数为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° C 1．三角形外角的概念 　 三角形的一边与另一边的延长线组成的角， 叫做三角形的外角． 2．三角形外角的性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．三角形的外角和是360°． 课堂小结 三角形的内角和等于180°． 证法 应用 转化为一个平角或同旁内角互补 求角度 作平行线 转化思想 辅助线 通过本课时的学习，需要我们掌握： 性质：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 课堂小结 再见 $$