3.2.1（3）函数的最大(小)值课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1(3) 函数的最大(小)值 1 [学习目标] 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值. 3.会借助函数的单调性求最值. 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 5.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法. 2 导入新知 函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0,0) 即对于任意的x∈R,都有f(x)≥ f(0) 当一个函数f(x)的图象有最低点时,就说函数f(x)有最小值. 最小值 新知引入:函数的最大值与最小值 应用新知 函数最大值概念: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值 应用新知 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果实数M满足: (1)对于任意的的x∈I,都有f(x) ≥ M; (2)存在 ,使得 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimun value). 总结新知 ①最大(小)值必须是一个确定的函数值,且为值域中的一个元素. 无最小值 ②求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察). 函数 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:∀x∈D,都有 f(x)_M f(x)_M ∃x0∈D,使得_ 结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的_ f(x)图象上最低点的_ ≤ ≥ f(x0)=M 纵坐标 纵坐标 2.函数 的图象如图所示,则最大值、最小值分别为( ) C A. , B., C. , D., [解析] 根据图象的最高点与最低点,可得函数的最大值、最小值分别为 , .故选C. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 7 3.函数在, 上的最大值是( ) A A. B. C. D.2 [解析] ∵ 函数和在, 上均单调递减, ∴ 在, 上单调递减, ∴ .故选A. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 8 即 烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度约为29m. 探究点一 利用图象求函数的最值 [例1] 作出函数的图象,说明函数 的单调性, 并判断其是否存在最大值和最小值. 解:当,,即时, . 当,,,,即时, . ∴ 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 10 画出该分段函数的图象,如图. 由图象可知,函数在 和上单调递增, 在 上单调递减. 观察函数图象,可知函数不存在最大值,也不存在最小值. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 11 方法总结 利用图象求函数最值的方法 (1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象. (2)根据图象找出最高点和最低点. (3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 12 探究点二 利用单调性求最值 [例2] 已知函数 . (1)讨论在 上的单调性; 解:,,且 , . 当时,, , ∴ 即 , ∴ 在区间 上单调递减. 当时 , 即 , ∴ 在区间 上单调递增, ∴ 在区间上单调递减, 在区间 上单调递增. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 13 (2)求在区间 上的最大值与最小值. 解:由(1)知,在上单调递减,在 上单调递增, 又,, , ∴ 在区间上的最大值为,最小值为 . [例2] 已知函数 . 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 14 方法总结 (1)若函数在区间上单调递增,则的最大值为, 最小值为 . (2)若函数在区间上单调递减,则的最大值为, 最小值为 . (3)若函数 有多个单调区间,先求出各区间上的最值,再从各区间的 最值中确定最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要 考虑端点处的函数值或者发展趋势. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 15 探究点三 函数最值的实际应用 [例3] 围网养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好等特点.研究表明:围网养鱼时, 某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 (单位:kg/年)是养殖密度 (单位:尾/m3)的函数.当不超过4尾/ m3 时, 的值为2kg/年;当时, 是的一次函数,且当 达到 20尾/ m3 时,因缺氧等原因,鱼停止生长. (1)当时,求关于 的函数解析式. 解:由题意知,当时, ; 当时,设 ,由已知得 解得,,即此时 . 故函数 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 16 (2)当养殖密度 为多大时,鱼的年生长量(单位:kg/m3)可以达到最大? 并求出最大值. 解:设鱼的年生长量为 ,依题意并由(1)得鱼的年生长量 , 当时, 为增函数,故 ; 当 时, , 则当 时,函数取得最大值, . ∴ 当时, 的最大值为12.5. 当养殖密度为10尾/m3时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5kg/ m3. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 17 方法总结 用待定系数法求解实际问题中的函数模型,确定函数模型中待定系数时, 需要根据题意找出一对或几对自变量与函数的对应值,代入所求的函数 解析式,具体问题中的自变量与函数的对应值有时比较隐蔽,需要仔细 读题,例如例3中的“鱼停止生长”,即 . 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 18 探究点四 已知函数最值或值域求参数 [例4](1)已知函数的值域为,求实数 的取值范围; 解:当时, ,满足题意; 当时,只要,所以 ; 当 时,显然不符合题意. 综上所述,实数的取值范围为 . (2)已知函数的最小值为0,求实数 的取值范围. 解:当时, ,满足题意; 当时,只要,所以 ; 当时,只要,所以 . 综上所述,实数的取值范围为 . 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 19 (2)已知函数在上的最大值为,则 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. [解析] 的图象如图所示, 对称轴为直线 , 令,得 . ∵ ,∴数形结合可得 或 .故选D. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 20 方法总结 已知函数的最值或值域求参数的取值范围,关键在于理解最值与值域的概念, 解题时要注意利用函数图象,此类题一般分为两类:一是参数在解析式中, 二是参数在定义域中.前一类要注意参数对函数单调性的影响,一般要分类 讨论;后一类题目一般比较简单. 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 21 [学海拾贝] 含参数的二次函数在闭区间上的最值问题 [典例探究](轴动区间定) 已知函数,, 求函数 的最小值和最大值. 解:, 当时,在区间上单调递减, ; . 当时,在区间上单调递减,在区间 上单调递增, ;, 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 22 当时,在区间上单调递减,在 上单调递增, , , 当时,在区间上是增函数, , . 综上所述, 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 23 [应用探究](轴定区间动)已知函数,, 的最小值为 ,求 的函数表达式. 解:,, . 当,即时,在上单调递减, ∴ ; 当,即时, ; 当时,在 上单调递增, ∴ . 综上可得, 知识梳理 自主探究 师生互动 合作探究 24 25 $$