3.2.1 第2课时 函数单调性的应用 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2课时 函数单调性的应用 1   单调递增 单调递减 定义 图示 ∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上单调递减, 区间I为f(x)的单调递减区间. 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. 单调性是局部性质 ②若f(x)在区间I上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有(严格的)单调性. 且区间I叫做y=f(x)的单调区间。 复习引入~单调性定义 ∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递增, 区间I为f(x)的单调递增区间. 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I ⊆D， 2 用定义证明函数的单调性的步骤: 方法总结 复习引入 探究点一 利用单调性比较大小与解不等式 ［例1］（1）已知函数是区间内的减函数，则 与的大小关系为( ) B A. B. C. D.不确定 [解析] ∵ ， 且是区间 内的减函数， ∴ .故选B. 4 （2）已知函数是定义在上的增函数，若 ，则实数 的取值范围是( ) C A.， B. C.D. [解析] 由题意得, ， 解得或， ∴ 实数的取值范围为, .故选C. 5 方法总结 （1）比较两个函数值的大小，一定要把两个自变量的值置于 同一个单调区间内. （2）在求解抽象函数不等式时，利用函数单调性将“ ”去掉， 使其转化为具体的不等式，此时应特别注意函数的定义域. 6 探究点二 利用函数的单调性求参数 角度1 利用二次函数的单调性求参数 ［例2］ 已知二次函数 . （1）若函数的单调区间是则 的取值集合是____. [解析] ∵ 的单调递减区间是 又由已知条件知的单调区间是 , ∴ ,所以 . ∴ 满足条件的的取值集合是 . 7 （2）若函数在上单调递减，则 的取值集合是__________. [解析] ∵ 的单调递减区间是 又由已知条件知在 上单调递减, ∴ . ∴ 满足条件的的取值集合是 . 8 方法总结 （1）研究二次函数的单调性，首先应明确二次函数图象的开口方向 （二次项系数的正负）与二次函数图象的对称轴方程. （2）“函数在某一个区间上单调”与“函数的单调区间是 ”是 两个不同的概念. 前者是函数相应单调区间的子集[如本例（2）]， 而后者就是函数的单调区间[如本例（1）]. 9 角度2 利用分段函数的单调性求参数 ［例3］若函数满足对任意 的实数 ,都有成立,则实数 的取值范围是( ) C A. B. C.D. 10 [解析] ∵ 函数 满足对任意的实数,都有 成立, ∴ 函数在 上是增函数. ∴ 在和 上均单调递增, 即 解得 . ∴ 实数的取值范围是 .故选C. 方法总结 （1）对于分段函数在实数集 上的单调递增（减）问题，除了保证在定义域 的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系. 若函数是增函数，则左边函数值小于或等于右边函数值（若函数是减函数， 则右边函数值小于或等于左边函数值）,这样才能满足 上的单调递增（减）， 否则求出的参数范围会出现错误. （2）函数单调性的等价形式. 对于定义域内的区间上任意的,且若 或 则函数在区间 上单调递增; 若或,则函数在区间 上单调递减. 12 补充 函数单调性的运算（类比正负数的加减运算） ①增函数 + 增函数 = 增函数； ②减函数 + 减函数 = 减函数； ③增函数 - 减函数 = 增函数； ④减函数 - 增函数 = 减函数；. 13 补充 形如的复合函数的单调性，其中 为内层函数, 为外层函数： 步骤：①求定义域；②拆分内外层函数；③求内外层函数各自的单调性； ④根据复合函数“同增异减”的规则进行判断. 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 14 [学海拾贝] 复合函数的单调性 ［典例探究］ 求函数 的单调区间. 解：要使函数有意义，则， 即，即函数的定义域为 . 设 ， 当时，函数单调递增，而单调递增， ∴ 单调递增； 当时，函数单调递减，而单调递增， ∴ 单调递减. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . 15 16 $$