3.1.2 函数的表示法(二) 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.2 函数的表示法（二） 1 [学习目标] 1.通过具体实例，理解分段函数的概念，提升数学抽象的核心素养. 2.会描绘分段函数图象，掌握分段函数的简单应用，提升直观想象 和数学运算的核心素养. 2 应用新知 应用新知 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注： 分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； 在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； 分段函数的定义域是各段“定义域”的并集， 值域是各段“值域”的并集. 探究点一 分段函数求值 [例1] 已知函数 （1）求，， 的值； 解：由题可得 ， ， ∵ ， ∴ . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 5 （2）若，求实数 的值. 解：当时， ， 解得 ，不符合题意，舍去； 当时， ，即 ， 解得或，∵ ，，∴ 符合题意； 当时，，解得 ，符合题意. 综上，当时，或 . [例1] 已知函数 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 6 方法总结 （1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求函数值的自变量的 取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值. 当出现 的形式时，应从内到外依次求值. （2）已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法: 先假设自变量 的值在分段函数定义域的各段上, 然后求出相应的自变量的值, 切记要检验. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 7 探究点二 分段函数不等式解法 [例2] 已知函数 求不等式 的解集. 解：由题意知， . 当时，原不等式可化为 , 解得 或 ； 当时，原不等式可化为 ， ∴ . 综上，的解集为 . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 8 方法总结 求解与分段函数有关的不等式，应在每段函数定义域限制之下 结合每段函数的解析式解不等式，然后将解集与每段的定义域 取交集，最后将各交集“并”起来. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 9 探究点三 分段函数的图象 角度1 根据分段函数解析式作出函数图象 [例3] 已知函数 （1）在平面直角坐标系内画出 的图象； 解：根据函数的定义域， 描出关键点，，， ， 图象如图所示. （2）根据函数的图象直接写出函数的值域和方程 的解集. 解：函数的值域为，的解集为,1, . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 10 方法总结 画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端 点包含在内，则用实心点表示；若端点不包含在内，则用空心圈 表示. 应按分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义 域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留其在该段定义域内 的图象即可，即“整段作图分段取”. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 11 角度2 根据函数图象写出函数解析式 [例4] 如图,函数的图象为折线 ,求函数的解析式. 解：由题图可知,当时，函数图象是线段 . 设直线对应的一次函数解析式为 . 将点和 的坐标代入,得 解得 ∴ 此时的函数解析式为， . 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 12 当时，函数图象是线段 . 设直线对应的一次函数的解析式为, 将点和 的坐标代入,得 解得 ∴ 此时的函数解析式为 . 综上，函数 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 13 方法总结 根据分段函数图象求解析式的步骤 （1）首先从图象上看分段点及各段定义域，因为任意两段的 定义域的交集为空集，所以要注意端点的含与不含. （2）其次看各段图象所代表的函数，写成分段函数. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 14 探究点四 分段函数在实际中的应用 [例5] 某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过 的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过， 但不超过 的部分，每千瓦时电费是0.65 元；每户每月用电量超过 的部分，每千瓦时电费是0.9元.某月某户居民交电费元，已知该 户居民该月用电量为 . （1）写出关于 的函数解析式； 解：由题意得 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 15 （2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量. 当时， ， 当时， , ， 当时， . ∵ ，∴ ， 则，解得 . 即该户居民该月的用电量为 . 解：由（1）得 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 16 17 $$