精品解析：广西百色市乐业县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024九年级数学上册期中测试卷 期中综合检测题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（3分×10＝30分） 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ）． A. x>0 B. C. D. 2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 5. 有一个多边形的边长分别是、、、、，和它相似的一个多边形最长边为，那么这个多边形的周长是（ ） A. 12cm B. 18cm C. 32cm D. 48cm 6. 如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的取值情况是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 8. 设，，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是( ) A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b 9. 如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（ ） A. -1 B. C. 1 D. 10. 如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：；；；． 其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3分×8＝24分） 11. 已知线段，，，且线段成比例，则______． 12. 计算：______． 13. 如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件___，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可） 14. 某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为__________． 15. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=___． 16. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 17. 如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，米，窗户的下檐到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为______米． 18. 如图，在直角坐标系中有两点，如果点在轴上（C与不重合），当点的坐标为___________或___________时，使得由点组成的三角形与相似（至少写出两个满足条件的点的坐标）． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，已知，的延长线交于点，交于点，，，且，． （1）从图中找出一对相似的三角形，并说明理由； （2）求的度数． 22. 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看，水塔不见了.他心里很是纳闷.经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6.m.小张要想看到水塔；他与教学楼之间的距离至少应有多少米？ 23. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 24. 已知关于的一元方程有两个实数根． （1）求实数根的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0）．动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒． （1）求直线AB的解析式； （2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024九年级数学上册期中测试卷 期中综合检测题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（3分×10＝30分） 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ）． A. x>0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件解答． 【详解】解：∵要使有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键． 2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是解题的关键．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故A错误； B、方程不是整式方程，故B错误； C、符合一元二次方程的定义，故C正确； D、方程可变为，化简后不含二次项，不是一元二次方程，故D错误． 故选：C． 3. 方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先去括号，然后移项合并同类项，化为的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 故选：B． 4. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法步骤解题即可． 【详解】解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 有一个多边形的边长分别是、、、、，和它相似的一个多边形最长边为，那么这个多边形的周长是（ ） A. 12cm B. 18cm C. 32cm D. 48cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据两多边形相似求出其相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：∵一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm， ∴两个相似多边形的形似比为：， 设另一个多边形的周长为xcm， ∴ ， 解得x=32cm． 故选C． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比． 6. 如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的取值情况是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 故选：C 7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF，AB=CD， ∴△ABE∽△DFE， ∴， ∵， ∴AE=6，AB=8， ∴AD=AE+DE=6+3=9， ∴的周长为：（8+9）×2=34． 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答． 8. 设，，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是( ) A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b 【答案】A 【解析】 【分析】根据公式： （ ）即可． 【详解】设＝a，＝b，则ab=,所以，==0.3ab． 故选：A． 【点睛】本题考核知识点：二次根式的乘法，解题关键是熟记二次根式乘法公式． 9. 如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（ ） A. -1 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】设BC与A′C′交于点E， 由平移的性质知，AC//A′C′ ∴△BEA′∽△BCA ∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2 ∵AB= ∴A′B=1 ∴AA′=AB-A′B=-1 故选：A． 10. 如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：；；；． 其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，推出，再利用三角形中位线定理可判断；证明推出可判断；设，求出，可判断；求出，，（用表示），通过计算证明可判断． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 设，则，，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 二、填空题（3分×8＝24分） 11. 已知线段，，，且线段成比例，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例线段，根据成比例线段的概念，得，把，，代入求出的值，正确理解比例线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件___，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可） 【答案】∠ABC =∠ACD（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：由题意得，∠A＝∠A（公共角）， 所以可添加∠ACD＝∠ABC，使△ABC∽△ACD． 故答案为：∠ABC =∠ACD（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14. 某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为__________． 【答案】10（1+x）2=13 【解析】 【分析】十一月份加工量=九月份加工量×（1+月平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x， 根据题意，可列方程为：10（1+x）2=13， 故答案为：10（1+x）2=13． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 15. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=___． 【答案】9． 【解析】 【详解】∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3． ∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9． 考点：一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值． 16. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 17. 如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，米，窗户的下檐到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得，然后证明，再根据性质得，再把米，米代入即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 18. 如图，在直角坐标系中有两点，如果点在轴上（C与不重合），当点的坐标为___________或___________时，使得由点组成的三角形与相似（至少写出两个满足条件的点的坐标）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用当时，求点C的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且， 由点B、O、C组成的三角形与相似，即应该与对应， 当， 则， 故， 解得：， 故； 同理可得：也是符合题意的答案． 故答案是：；． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形性质．解答此类题目时，首先判断由B、O、C三点组成的三角形形状，再利用两个三角形直角边与直角边对应关系求解． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【小问1详解】 解： ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 21. 如图，已知，的延长线交于点，交于点，，，且，． （1）从图中找出一对相似的三角形，并说明理由； （2）求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）由得，根据两角相等的三角形相似即可； （）根据相似三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得：， ∴， ∴． 22. 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看，水塔不见了.他心里很是纳闷.经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6.m.小张要想看到水塔；他与教学楼之间的距离至少应有多少米？ 【答案】小张与教学楼的距离至少应有55.2米. 【解析】 【分析】先设小张与教学楼的距离至少应有x米才能看到水塔，连接FD，根据相似三角形的判定得到，再根据相似三角形的性质得到，计算即可得到答案. 【详解】如图所示，设小张与教学楼的距离至少应有x米才能看到水塔.连接FD， 由题意知，点A在FD上，过点F作于点G，交AB于EA2点H， 则四边形FEBH，BCGH都是矩形. ∵， ∴， ∴. 即， 解得. 经检验是所列方程的根. 答：小张与教学楼的距离至少应有55.2米. 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质、相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的应用. 23. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员． 【解析】 【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可； （2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数． 【详解】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意，得10(1＋x)2＝12.1， ， (不合题意，舍去)． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； （2）∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)， 12.6万件＜13.31万件， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 设需要增加y名业务员， 根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31， 解得y≥≈1.183， ∵y为整数， ∴y≥2． 答：至少需要增加2名业务员． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程及不等式，然后求解． 24. 已知关于的一元方程有两个实数根． （1）求实数根的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2） 不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等，理由： 设关于的一元方程有两个实数根为，， ∴，， 由题意得：， ∴， ∴，整理得：， 解得：， 由（）得：，则不在此范围，不符合题意， ∴不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后由题意列出方程求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【小问1详解】 解：∵关于的一元方程有两个实数根， ∴ ， 解得：； 【小问2详解】 略 25. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0）．动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒． （1）求直线AB的解析式； （2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣x+6； （2）当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似 【解析】 【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可； （2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t． 【小问1详解】 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意得： ，解得：． ∴直线AB的解析式为y=﹣x+6； 【小问2详解】 在Rt△AOB中，AO=6，BO=8，根据勾股定理得：AB=10． 由题意知：AP=t，AQ=10﹣2t．分两种情况讨论： ①当∠APQ=∠AOB时． ∵∠A=∠A， ∴△APQ∽△AOB， ∴， 解得：t=（秒）； ②当∠AQP=∠AOB时． ∵∠A=∠A， ∴△AQP∽△AOB， ∴， ∴t=（秒）． 综上所述：当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值等知识点，解答本题的关键是用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $