22.3　第3课时　建立适当坐标系解决实际问题 课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册 人教版 数学 22.3　第3课时　建立适当坐标系解决实际问题 第二十二章 二次函数 - 第3课时　建立适当坐标系解决实际问题 探究与应用 课堂小结与检测 第二十二章　二次函数 活动　能正确建立坐标系,并运用二次函数的图象、性质解决拱桥类实际问题 [问题情境] 图22-3-6中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少? 请按下面提供的方法画图建立坐标 系,求出函数解析式并解决问题. 图22-3-6 探究与应用 方法一:以水面所在直线为x轴,抛物线 的对称轴与水面的交点为原点建立直 角坐标系. 图22-3-6 解:如图所示. 由题意,设抛物线的解析式为y=ax2+b. 因为当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m, 所以C(0,2),B(2,0). 探究与应用 将(0,2),(2,0)代入y=ax2+b,得 解得 所以抛物线的解析式为y=-x2+2. 当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-1. 令y=-1, 探究与应用 则-1=-x2+2, 解得x=±, 所以此时水面宽度为-(-) =2(m), 所以水面下降1 m,水面宽度增 加(2-4)m. 探究与应用 方法二:以抛物线的顶点为原点,对称 轴为y轴建立直角坐标系. 图22-3-6 解:如图所示. 由题意,设抛物线的解析式为y=ax2. 由抛物线经过点(2,-2),得 -2=a×22, 探究与应用 解得a=-, 所以y=-x2. 当水面下降1 m时,水面的纵 坐标为-3. 令y=-3,则-x2=-3, 解得x=±, 所以此时水面宽度为-(-)=2(m), 所以水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m. 探究与应用 方法三:以抛物线与水面的左侧交点为原点,水面所在直线为x轴建立直角坐标系. 图22-3-6 解:如图所示. 探究与应用 由题意知,抛物线与x轴的交点为(0,0),(4,0),其顶点坐标为(2,2). 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2. 将(0,0)代入,得4a+2=0, 解得a=-, 所以抛物线的解析式为 y=-(x-2)2+2,即y=-x2+2x. 当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-1. 探究与应用 令y=-1,则-x2+2x=-1, 解得x1=2+,x2=2-, 所以此时水面宽度为(2+)- (2-)=2(m), 所以水面下降1 m,水面宽度增 加(2-4)m. 探究与应用 比较上面的三种方法,你觉得哪种方法更简便? 解:比较上面的三种方法,方法二更简便. 探究与应用 同一个问题中,建立平面直角坐标系的方法有多种,建立适 当的平面直角坐标系能简化求解过程.通常以已知点所在的 位置为原点建立平面直角坐标系,以方便求解为原则. 作 比较 探究与应用 [应用迁移] 例 (教材补充例题)如图22-3-7①,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m, 主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. 图22-3-7 探究与应用 (1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图②所示,求这条抛物线的解析式; 图22-3-7 解:由题意,得抛物线的顶点坐标为(0,0.5). 设抛物线的解析式为y=ax2+0.5. 将(450,81.5)代入,得81.5=a·4502+0.5, 解得a=, 所以这条抛物线的解析式为y=x2+0.5(-450≤x≤450). 探究与应用 (2)分别计算与桥两端主塔的距离为100 m,50 m处垂直钢索的长. 图22-3-7 解:当x=450-100=350时,y=×3502+0.5=49.5; 当x=450-50=400时,y=×4002+0.5=64.5. 故与桥两端主塔的距离为100 m,50 m处垂直 钢索的长分别为49.5 m,64.5 m. 探究与应用 建 模型 利用二次函数解决拱桥类问题的步骤 (1)建立恰当的平面直角坐标系; (2)把实际问题中的相关数量转化成点的坐标; (3)利用待定系数法确定二次函数的解析式; (4)利用函数解析式,由一个量求得另一个量,或由一个量的 取值范围求得另一个量的取值范围,并用所得的结果来描述 实际问题. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 实际问题 (桥梁、隧道) 构造 二次函数的模型 解决实际问题 有坐标系 没有坐标系 根据题意设合适的解析式 把已知数据转换为点的坐标代入解析式，求出解析式 建立合适的坐标系 根据自己建立的坐标系设合适的解析式 把已知数据转换为点的坐标代入解析式，求出解析式 课堂小结与检测 B [检测] 1.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感设计了一款杯 子,如图22-3-8为杯子的设计稿.若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为 (　　) A.14 B.11 C.6 D.3 图22-3-8 课堂小结与检测 2.如图22-3-9所示是一学生推铅球时铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象,则铅球推出的水平距离是 　　　　m.  图22-3-9 10 课堂小结与检测 3.有一条抛物线形状的隧道,隧道的最大高度为6 m,跨度为 8 m.把它放在如图22-3-10所示的平面直角坐标系中(1个单位长度表示1 m). (1)求这条抛物线的解析式; 图22-3-10 解:设这条抛物线的解析式为y=ax2. 由题意知,点B的坐标为(4,-6). 将B(4,-6)代入y=ax2,得-6=a·42, 解得a=-,所以这条抛物线的解析式为y=-x2(-4≤x≤4). 课堂小结与检测 (2)若要在隧道壁上点P处安装一盏照明灯,使照明灯离地面的高度为4.5 m,求照明灯与点B的距离. 图22-3-10 解:由题意知,点P的纵坐标是-6+4.5=-1.5. 在y=-x2中,令y=-1.5,得-1.5=-x2, 解得x1=2(不合题意,舍去),x2=-2, 所以P(-2,-1.5), 所以PB==7.5(m), 即照明灯与点B的距离是7.5 m. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$