精品解析：上海市闵行区上海交通大学附属第二中学 2024-2025学年八年级上学期数学期中考试拓展卷

2024学年第一学期期中考试八年级数学拓展卷 时间：40分钟 满分：50分 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 已知方程和方程的根完全相同，则______． 2. 是二次根式，则的取值范围是______． 3. 已知，化简____________________． 4. 多项式的最小值为______． 5. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则______． 6. 已知实数满足，那么______． 7. 已知实数、满足，，则______． 8. 如图，在中，平分，于点，，，，，则______． 9. 已知：是边长为的等边三角形，点、点分别在边，上，点为边的三等分点，将沿着直线翻折，点恰好与点重合，则的周长为______． 10. 如图，中，，把绕点逆时针旋转后得到．连结、、，测量得．若为等腰三角形，则的度数是______． 二、解答题（第11题3分，第12题7分，第13题10分，总分20分） 11. 在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为39．该方程的正数解为多少． 12. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖． （1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ （2）写出甲、乙两个商店中，收款（元）关于购买本数（本）的关系式． （3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？ 13. 已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于； （1）当为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明． （2）①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）； ②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中考试八年级数学拓展卷 时间：40分钟 满分：50分 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 已知方程和方程的根完全相同，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先解方程得到，，再把代入方程中求出，接着解方程方程可得到，然后计算的值． 【详解】解：， ，， 把代入方程得，解得， 解方程方程，解得，， ， ． 故答案为． 2. 是二次根式，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，即得． 【详解】∵是二次根式， ∴． ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 3. 已知，化简____________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可 【详解】， 原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键． 4. 多项式的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程配方法的应用，运用配方法进行配方是解题的关键．根据配方法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，多项式的最小值为． 故答案为：． 5. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，．设方程的一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系得出，得出，另一个根为，进一步利用两根的积得出的数值即可． 【详解】解：设方程另一个根为，则一个根为， 则，解得， 因此． 故答案为：． 6. 已知实数满足，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，关键是依据题意，弄清的取值范围，体现了分类讨论思想．实数满足，分三种情况讨论，①②③，看哪个符合题意，然后把符合题意的代入，即可解答． 【详解】解：实数满足， ①当时，，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，， ． 故答案为． 7. 已知实数、满足，，则______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的加法、运用完全平方公式求值，若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． 先利用根与系数的关系得，，再利用分式加法的计算法则计算即可． 【详解】解：由题意可知，当时，实数、是一元二次方程的两个实数根， 满足， ， 当时，， 故答案为：或2． 8. 如图，在中，平分，于点，，，，，则______． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，，，从而可得，进而可得，最后利用三角形的外角性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 故答案为：． 9. 已知：是边长为的等边三角形，点、点分别在边，上，点为边的三等分点，将沿着直线翻折，点恰好与点重合，则的周长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，由于点为边的三等分点，所以分点为靠近点和点的三等分点两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ①点为边的三等分点，且点靠近点时，如图①， ∴， 由折叠的性质得，， ∴的周长 ②点为边的三等分点，且点靠近点时，如图②， ∴ 由折叠的性质得，， ∴的周长 综上，的周长为或． 故答案为：或． 10. 如图，中，，把绕点逆时针旋转后得到．连结、、，测量得．若为等腰三角形，则的度数是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．先用表示，，再利用三角形内角和定理计算出，然后由为等腰三角形分类讨论：当时，即；当时，即；当时，即，再分别解方程求． 【详解】解：绕点逆时针旋转后得到， ，，， 和都是等边三角形； ， 而， ， 为等腰三角形，下面分三种情况讨论： ①当时， ，解得； ②当时， ，解得； ③当时，，解得 综上所述，若为等腰三角形，则，，． 故答案为：或或． 二、解答题（第11题3分，第12题7分，第13题10分，总分20分） 11. 在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为39．该方程的正数解为多少． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解题的关键．根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为： ， 该方程的正数解为． 12. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖． （1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ （2）写出甲、乙两个商店中，收款（元）关于购买本数（本）的关系式． （3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？ 【答案】（1）甲商店 （2）甲商店：；乙商店： （3）小明用24元最多可买28本 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，函数关系式，解题时首先认真审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，然后解答即可． （1）根据题意，到甲购买10本以上，第11本按标价的卖，如果买20本，则付款，到乙买收款：即可得到答案； （2）当时，分别根据题意列出函数关系式，即可得到答案； （3）将分别代入（2）中函数关系式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：甲商店． 甲店收款为：（元， 乙店收款为：（元， ， 买20本时，到甲店购买省钱； 【小问2详解】 解：甲商店：时，，即； 乙商店：时，，即； 【小问3详解】 解：将代入得： ， 所以24元钱最多在甲商店可买28本， 将代入得： ， 所以24元钱最多在乙商店可买26本， 答：小明用24元最多可买28本． 13. 已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于； （1）当为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明． （2）①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）； ②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由． 【答案】（1） ，理由如下： 如图， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 为等腰三角形，， ， ， 点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同． ， ； （2）①； ②结论还成立．理由如下： 如图2，作，交的延长线于点，连接，． 同①可得， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形性质可得，由平行线的性质可得，得出，由等边三角形判定得出；再证明，，再由题意得出，最后可得结论； （2）①作，交直线的延长线于点，易证，可得，，可证，可得，即，等量代换得，； ②作，交直线的延长线于点，连接，．再依照①证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图1，作，交直线的延长线于点， 又于， ， 点、做匀速运动且速度相同， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ，， 又，， ， ， ， ， ； ②略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，平行线的性质的运用，熟练掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，平行线的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $