22.2　二次函数与一元二次方程课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册 人教版 数学 22.2　二次函数与一元二次方程 第二十二章 二次函数 - 22.2　二次函数与一元二次方程 探究与应用 课堂小结与检测 第二十二章　二次函数 活动1　认识二次函数与一元二次方程的联系 [问题情境] 如图22-2-1,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2. 图22-2-1 探究与应用 (1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要多少飞行 时间? 图22-2-1 解:能.解方程15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时,它的飞行高度为15 m. 探究与应用 (2)小球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多少飞行 时间? 解:能.解方程20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当小球飞行2 s时,它的飞行高度为20 m. 图22-2-1 探究与应用 (3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么? 解:不能.理由:解方程20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0. 因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无实数根. 这就是说,小球的飞行高度达不到20.5 m. 图22-2-1 探究与应用 (4)小球从飞出到落地要用多少时间? 解:小球飞出时和落地时的高度都为0 m, 解方程0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当小球飞行0 s和4 s时,它的高度为0 m. 这表明小球从飞出到落地要用4 s. 图22-2-1 探究与应用 二次函数与一元二次方程的关系 已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可 以看作解一元二次方程ax2+bx+c=m.反过来,解方程ax2+bx+ c=n,又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为n,求自 变量x的值. 悟 联系 探究与应用 [概括归纳] 二次函数与一元二次方程的关系:如果抛物线y=ax2+bx+c与 x轴有公共点,那么公共点的　　　 就是一元二次方程ax2+ bx+c=0的根.  横坐标 探究与应用 活动2　会用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况 [观察猜想] ①如图22-2-2所示,下列二次函数的图象与x轴有公共点吗? ②如果有,公共点的横坐标是多少?③当x取公共点的横坐标时,函数值是多少? 图22-2-2 探究与应用 ④由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?⑤反过来,由一元二次方程的根的情况,可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系吗? (1)y=x2+x-2;　 图22-2-2 解:抛物线y=x2+x-2与x轴有两个 公共点,它们的横坐标是-2,1.当x 取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1. 探究与应用 (2)y=x2-6x+9;　 图22-2-2 解:抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数值是0.由此得出方程 x2-6x+9=0有两个相等的实数根3. 探究与应用 (3)y=x2-x+1. 图22-2-2 解:抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根. 反过来,由一元二次方程的根的 情况,也可以确定相应的二次函 数的图象与x轴的位置关系. 探究与应用 [概括新知] 抛物线与x轴的位置关系与对应的一元二次方程根的情况 之间的关系: 抛物线y=ax2+bx+c与 x轴的位置关系 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况 有两个公共点 有　　　　　　　实数根  只有一个公共点 有　　　　　　　实数根  没有公共点 　　　　实数根  两个不等的 两个相等的 没有 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材补充例题)判断下列函数的图象与x轴的公共点情况,并说明理由. (1)y=2x2-3x; 解:函数y=2x2-3x的图象与x轴有两个公共点. 理由:令y=0,则2x2-3x=0. 因为(-3)2-4×2×0=9>0, 所以该方程有两个不等的实数根,故函数y=2x2-3x的图象与x轴有两个公共点. 探究与应用 (2)y=-x2-4x-1; 解:函数y=-x2-4x-1的图象与x轴有两个公共点. 理由:令y=0,则-x2-4x-1=0. 因为(-4)2-4×(-1)×(-1)=12>0, 所以该方程有两个不等的实数根,故函数y=-x2-4x-1的图象与x轴有两个公共点. 探究与应用 (3)y=x2+2x+5. 解:函数y=x2+2x+5的图象与x轴没有公共点. 理由:令y=0,则x2+2x+5=0. 因为22-4×1×5=-16<0, 所以该方程没有实数根,故函数y=x2+2x+5的图象与x轴没有公共点. 探究与应用 活动3　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 例2 (教材典题)利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位). 解:画出函数y=x2-2x-2的图象(如图所示),它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7, x2≈2.7. 探究与应用 学 方法 利用二次函数的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的根   步骤 结论 方法一 直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象 图象与x轴的公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根 探究与应用   步骤 结论 方法二 把ax2+bx+c分成两部分,一部分为多项式,记作M,一部分为单项式,记作N,再在同一直角坐标系中画出函数y=M和函数y=-N的图象 两图象的公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根 探究与应用 A [检测] 1.(2022广州白云区期中)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个公共点的坐标是(-2,0),(5,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是(　　) A.x1=-2,x2=5 B.x1=2,x2=-5 C.x1=-2,x2=-5 D.x1=2,x2=5 课堂小结与检测 2.(2022温州鹿城区期中)抛物线y=x2+4x+4与x轴的公共点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.因为方程x2+3x+2=0的根是　 ,所以抛物线y= x2+3x+2与x轴的公共点坐标是　　　　和　　　　.  B x1=-2,x2=-1 (-2,0) (-1,0) 课堂小结与检测 4.二次函数y=x2-2x-3的图象如图22-2-3所示.当y=0时,自变量x=　　　　;当y<0时,自变量x的取值范围是　　　　　;当y>0时,自变量x的取值范围是　　　　　　.  图22-2-3 -1或3 -1<x<3 x<-1或x>3 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$