22.3　第1课时　几何图形面积问题.课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册 人教版 数学 22.3　第1课时　几何图形面积 问题 第二十二章 二次函数 - 22.3　第1课时　几何图形面积问题 探究与应用 课堂小结与检测 第二十二章　二次函数 活动1　会求二次函数的最大值(或最小值) [问题情境] 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 探究与应用 解:方法一(公式法):函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象如图. 结合图象可知,当t取顶点的横坐标时,函数有最大值,即小球最高, 所以当t=-=-=3时,h有最大值, 最大值为=45, 所以小球运动的时间是3 s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m. 探究与应用 方法二(配方法):h=30t-5t2=-5(t-3)2+45. 因为0≤t≤6, 所以当t=3时,h最大=45, 所以小球运动的时间是3 s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m. 探究与应用 抛物线y=ax2+bx+c的顶点与函数最值的关系 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高) 点,也就是说,当x=　　　时,二次函数y=ax2+bx+c有最            (　　　)值　　　　.  懂 结论 小 - 大 探究与应用 [引发思考] (1)二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定? (2)当自变量x为全体实数时,二次函数y=ax2+bx+c的最值是多少? 解:(1)由a,b,c的值及自变量的取值范围决定. (2)当a>0时,y最小值=,此时x=-;当a<0时,y最大值=,此时x=-. 探究与应用 (3)当自变量x有限制时,二次函数y=ax2+bx+c的最值如何 确定? 解:先判断-是否在x的限制范围内,若在,则二次函数在x=-时取得最大(小)值;若不在,则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值. 探究与应用 活动2　二次函数与几何图形面积的最值 例1 (教材“探究1”)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大? 探究与应用 解:因为矩形场地的周长是60 m,一边长为l m,所以与其相邻的另一边长为(-l)m, 所以场地的面积S=l(30-l),即S=-l2+30l(0<l<30). 因此,当l=-=-=15时,S有最大值=225. 也就是说,当l是15 m时,场地的面积S最大. 探究与应用 学 思路 利用二次函数解决图形面积最值问题的步骤 (1)根据题意求出函数解析式和自变量的取值范围. (2)判断函数图象的顶点横坐标是否在自变量的取值范围内. (3)根据(2)的结论确定最值,即若函数图象的顶点横坐标在 自变量的取值范围内,则顶点的纵坐标是最值;若不在,则右 (或左)端点的纵坐标是最值. 探究与应用 例2 (教材补充例题)(2022北京朝阳区期中)如图22-3-1,利用一面墙(墙的长度为12 m),另三边用22 m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD,当BC的长是多少米时,场地的面积最大? 图22-3-1 解:设BC的长是x m,场地的面积是y m2. 由题意,得y=x·(22-x)=-x2+11x=-(x-11)2+60.5. 因为墙的长度为12 m,11<12, 所以当BC的长是11 m时,场地的面积最大. 探究与应用 变式1 如图22-3-2,有长为30 m的篱笆,一面利用墙(墙的长度为10 m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形菜园.设菜园的一边AB的长为x m,矩形ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数解析式; 图22-3-2 解:由题意,得y=x(30-3x),即y=-3x2+30x. 因为0<30-3x≤10,所以≤x<10, 所以y与x之间的函数解析式为y=-3x2+30x(≤x<10). 探究与应用 (2)当x为何值时,y的值最大?求出y的最大值. 解:y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75. 因为≤x<10,且当x>5时,y随x的增大而减小, 所以当x=时,y的值最大,最大值为. 图22-3-2 探究与应用 变式2 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图22-3-3所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园的最大面积. 图22-3-3 探究与应用 解:设AB=x m,花园的面积为S m2, 则BC=(28-x)m, 所以S=x(28-x)=-(x-14)2+196. 由题意,知解得6≤x≤13. 在6≤x≤13范围内,S随x的增大而增大, 所以当x=13时, S最大值=-(13-14)2+196=195, 即花园的最大面积为195 m2. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 实际问题 (几何图形 面积最值) 二次函数的模型 解决实际问题 构造 一个关键 一个注意 建立函数解析式 若最值不在顶点处取 得，则要利用函数的 增减性来确定 课堂小结与检测 D [检测] 1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为S cm2的矩形,S的值不可能为 (　　) A.20 B.40 C.100 D.120 课堂小结与检测 2.常青钢窗厂要利用12米长的钢材制成如图22-3-4所示的矩形窗框,窗框的长与宽分别为多少时,此窗框的透光面积最大?最大面积是多少? 图22-3-4 课堂小结与检测 解:设AD=x米,窗框的透光面积为y平方米,则AB=米. 根据题意,得y=x·=-(x-2)2+6(0<x<4), 所以当x=2时,y取得最大值,最大值为6, 此时=3, 即窗框的长AB为3米,宽AD为2米时,窗框的透 光面积最大,最大面积是6平方米. 课堂小结与检测 3.如图22-3-5,等腰梯形ABCD的周长为4 cm,∠B=∠C=60°,当梯形的腰长为多少时,梯形的面积最大?最大面积是多少? 图22-3-5 解:设AB=CD=x cm. 因为梯形ABCD的周长为4 cm, 所以AD+BC=(4-2x)cm. 过点A作AE⊥BC于点E. 因为∠B=60°, 所以∠BAE=90°-∠B=90°-60°=30°, 课堂小结与检测 所以BE=AB=x cm, 所以AE=x(cm). 设梯形的面积为y cm2,则 y=(AD+BC)·AE=(4-2x)·x=-x2+x=-(x-1)2+(0<x<), 所以当x=1时,y取得最大值,最大值为. 故当梯形的腰长为1 cm时,梯形的面积最大,最大面积是 cm2. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$