精品解析：上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

洋泾中学2024学年第一学期高一年级数学期中 2024.10 一、填空题（1-6题每题3分，7-10题每题4分，共34分） 1. 已知集合，，则______． 2. 已知，，化简：______． 3. 方程的两个实数根为，若，则实数________． 4. 已知集合，集合，那么______． 5. 对任意，等式成立，则实数______. 6. 设，，且，则实数a组成的集合是______ 7. 已知，则的取值范围是________． 8. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______． 9. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 10. 定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是______. 二、选择题（11-12题每题3分，13-14题每题4分，共14分） 11. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 12. 若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意非零实数和，若，则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 三、解答题（共52分） 15. 已知集合，实数使得集合满足， 求的取值范围. 16. 已知，，，请用反证法证明：与不能同时成立． 17. 已知关于x的方程，试解 （1）当是方程的一个解时，求实数a的值； （2）当方程只有一解时，求实数a的值． 18. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 19. 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数. （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洋泾中学2024学年第一学期高一年级数学期中 2024.10 一、填空题（1-6题每题3分，7-10题每题4分，共34分） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集运算的定义直接求解即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 2. 已知，，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简. 【详解】因为. 故答案为： 3. 方程的两个实数根为，若，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可. 【详解】由根与系数的关系知，， 所以， 解得， 故答案为： 4. 已知集合，集合，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】求二次函数值域得集合A，解一元二次不等式得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为， 又或， 所以. 故答案为： 5. 对任意，等式成立，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】利用全称命题的真假性，结合等式成立的性质列式即可得解. 【详解】因为对任意，等式成立， 所以， 则，解得. 故答案为：. 6. 设，，且，则实数a组成的集合是______ 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件求解集合，然后利用集合间的包含关系即可求解. 【详解】由，解得或2， 故， 由，故分两种情况： ①当时，即时，满足题意； ②当时，即时，， 故或，解得或. 综上所述，实数a组成的集合为. 故答案为：. 7. 已知，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 8. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答. 【详解】因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题， 当时，恒成立，则， 当时，必有，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 9. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论即可. 【详解】，则，解得， 若的真子集的个数是1，则中只含有一个元素， 因为为正实数，则，， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 10. 定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式，并求出解集区间的长度，再从分类讨论解不等式，结合题意即可得出答案. 【详解】由，得且， 由得，解得， 由得，解得或， 所以不等式的解集为， 此不等式解集的长度恰好为， 由得， 当时，此不等式的解集为空集，舍去； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得， 综上所述，实数t的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：分别解不等式和是解决本题的关键. 二、选择题（11-12题每题3分，13-14题每题4分，共14分） 11. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用指对数的性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】当，时，，充分性成立； 当，时，则，必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 12. 若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【详解】由，，，，知： 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 13. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意非零实数和，若，则下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法判断各选项的准确性. 【详解】对A：因为，又，但符号不定，故未必成立，故A错误； 对B：因为，又，但符号不定，故未必成立，故B错误； 对C：因为，由，根据题意有，所以，故成立，故C成立； 对D：因为，由，但，的符号均不能确定，所以未必成立，故D错误. 故选：C 14. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 三、解答题（共52分） 15. 已知集合，实数使得集合满足， 求的取值范围. 【答案】a4 【解析】 【详解】由题意可知A=(3,4)， a5时，B=，满足AB； a<5时，B=，由AB，得a4，故4a<5， 综上，得实数a的取值范围为a4. 16. 已知，，，请用反证法证明：与不能同时成立． 【答案】证明：假设与同时成立， 则由，可得， 又，所以可得， 同理，由可得， 所以由不等式的性质可得， 这与矛盾，故假设不成立， 所以与不能同时成立. 【解析】 【分析】利用反证法，根据一元二次不等式的解，可推出与已知矛盾. 【详解】略 17. 已知关于x的方程，试解 （1）当是方程的一个解时，求实数a的值； （2）当方程只有一解时，求实数a的值． 【答案】（1）或 （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题可得，解之即得； （2）由题可得，解之即得. 【小问1详解】 ∵是方程的一个解， ∴即， 解得或， ∴或. 【小问2详解】 ∵只有一解， 当时，2=0，显然不成立， 当时，， ∴解得或， ∴或. 故实数a的值为或. 18. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【答案】（1）40 （2）102万平方米，售价为30欧元. 【解析】 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得； （2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 则有， 解得：， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. 【小问2详解】 ， 整理得：， 除以得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时， 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和， 此时的售价为30欧元/平方米. 19. 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数. （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为9， 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论的取值范围解绝对值不等式即可得解； （2）根据题意，利用三角绝对值不等式即可得解； （3）根据题意，利用绝对值的几何意义分析得绝对值的最小值，从而得解. 【小问1详解】 依题意，得， 当时，，解得，故； 当时，，故； 当时，，解得，故； 综上：. 【小问2详解】 依题意，得对一切实数恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. 【小问3详解】 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和， 要想距离之和最小，其中时，取得最小值， 当时，取得最小值，当时，取得最小值， 综上：当时，取得最小值， 最小值为， 故的最小值为9. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $