江苏省常州市西夏墅高级中学2024-2025学年高三上学期数学周练8

常州市西夏墅高级中学高三数学周练 2024-2025学年第一学期 高三数学周练8 班级 姓名 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若（其中为虚数单位），则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．展开式中项的系数为（　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 6．已知函数，现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为； 乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到： 丙：该函数在区间上单调递增； 丁：该函数满足． 如果只有一个假命题，那么该命题是（　　） A． 甲　　　　　　B．乙　　　　　　C．丙　　　　　　D．丁 7．甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 4.8 A． m的值为6.2 B. 回归直线必过点（2，4.4） C．样本点（4，m）处的残差为0.1 D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变 10．如图所示，四面体的各棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于顶点的点，则以下结论正确的为（　　　） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．四面体的外接球体积为 D．平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为 11．已知函数和有相同的极大值，若存在，使得成立，则（    ） A． B． C．当时， D．若的根记为，，的根记为，，且，则 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知角，为锐角，，，则的值为 ． 13．在中，，∠，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为 ． 14．已知函数，过点可作曲线的条切线，则实数的取值范围为　　　　　． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为. (1)求袋子内小球的个数； (2)若从中随机抽取个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)若一次只抽取个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率. 16．若函数图象的相邻对称轴距离为，且． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象．当时，求不等式的解． 17．如图，在四棱锥中，在以为直径的圆上，，. (1)若平面，求直线与平面所成角的正切值； (2)若，求二面角的余弦值. 18．为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 19．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，，求的取值范围． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$常州市西夏墅高级中学高三数学周练 2024-2025学年第一学期 高三数学周练8 班级 姓名 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．若（其中为虚数单位），则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5．展开式中项的系数为（　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】D 6．已知函数，现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为； 乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到： 丙：该函数在区间上单调递增； 丁：该函数满足． 如果只有一个假命题，那么该命题是（　　） A． 甲　　　　　　B．乙　　　　　　C．丙　　　　　　D．丁 【答案】C 7．甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】D. 8．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 【答案】C 【详解】A选项，由题，因为奇函数，则，令，得，故A正确；B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，则为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在上单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C错误； D选项，由AB选项，，又， 则， 则，即函数是周期为8的函数，故D正确. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 4.8 9．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A． m的值为6.2 B. 回归直线必过点（2，4.4） C．样本点（4，m）处的残差为0.1 D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变 【答案】ABD. 10．如图所示，四面体的各棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于顶点的点，则以下结论正确的为（　　　） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．四面体的外接球体积为 D．平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为 【答案】ABD. 11．已知函数和有相同的极大值，若存在，使得成立，则（    ） A． B． C．当时， D．若的根记为，，的根记为，，且，则 【答案】ACD 【详解】，令，解得，令，解得， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴在处取得极大值， ，令，解得，令，解得， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴在处取得极大值， 依据题意，和有相同的极大值，故，解得，故A正确； 作出函数图象如下图所示，若，则，故B错误； 由图象可知，当时，，，∴，C正确； 对于D，若时，则，，， 则有，∴， 可得，同理可得， ∴，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知角，为锐角，，，则的值为 ． 答案为：. 13．在中，，∠，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】记，，由余弦定理及基本不等式求出的最大值，用表示出，然后求数量积后可得结论． 【详解】记，， 又由余弦定理得，即， ， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 由题意， ， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 14．已知函数，过点可作曲线的条切线，则实数的取值范围为　　　　　． 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为. (1)求袋子内小球的个数； (2)若从中随机抽取个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)若一次只抽取个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析；； (3). 【分析】（1）设红球、白球、黑球的个数分别为，根据异色球的概率列方程求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式求出概率，进而可得分布列，然后可求期望； （3）设第一次抽取的是红球、白球、黑球别为事件A，B，C，第二次抽取的是黑球为事件D，利用全概率公式求，然后再由条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设红球、白球、黑球的个数分别为， 因为从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为， 所以，即， 整理得，因为，所以， 所以袋子内小球的个数为. （2）由（1）知，袋中有8个小球，其中4个白球，故， ，， ，， 0 1 2 3 P . （3）设第一次抽取的是红球、白球、黑球别为事件A，B，C，第二次抽取的是黑球为事件D， 则， ， 所以， 所以第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率为. 16．若函数图象的相邻对称轴距离为，且． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象．当时，求不等式的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件结合余弦函数的性质计算解析式即可； （2）利用三角函数的图象变换得出解析式，再换元，利用二倍角公式及诱导公式化简不等式，结合正弦函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）因为图像相邻对称轴距离为，所以，即， 因为，所以，所以； 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，所以． （2）因为图像向右平移个单位得到， 再将图像上各个点横坐标变为原来2倍得到， 所以； 所以不等式为， 令，则，不等式化为， 所以，所以， 所以， 结合函数在上的图像得， 所以即为所求不等式的解． 17．如图，在四棱锥中，在以为直径的圆上，，. (1)若平面，求直线与平面所成角的正切值； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）先应用线面平行性质定理得出，进而得出四边形是矩形，再应用线面垂直判定定理得出平面,找到线面角求出正切值； （2）先建立空间直角坐标系再应用空间向量求解二面角余弦即可. 【详解】（1）因为平面，平面, 平面平面,所以, 又因为在以为直径的圆上,所以 所以,所以是矩形,所以， 在可得 因为，，所以， 又平面，所以平面， 平面,所以, 因为，，所以， 平面,所以平面, 所以直线与平面所成角为,. （2） 因为在以为直径的圆上,所以 过作平行线为轴，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为 所以在 可得， ， ， 设平面法向量为， 则,所以， 令，则， 设平面法向量为， 则，所以， 令，则， 设二面角为， 所以， 因为为锐角，所以. 18．为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772，则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 19．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 故，故在处的切线方程为 （2）， 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减， 当时，在上恒成立，故此时在单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 故此时在单调递增，在的单调递减， 当时，，故在的单调递减，在单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故此时在的单调递减，在单调递增， （3）， 令，则，记，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，且，当时恒成立， 要使有两个零点，则由两个交点，故，解得 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$