江苏省苏州市星湾学校2024-2025学年九年级上学期数学周练（第8周）

九年级数学周练4（一卷） （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共8小题，每题2分） 1．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：分别是：21，22，21，23，24，21，23．则这组数据的众数和中位数分别是　　 A．21，23 B．23，21 C．21，22 D．22，21 2．某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的　　 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．最高分 3．小明根据方差公式分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是　　 A． B．众数是3 C．中位数是3 D． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 5．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则　　 A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第8题图 6．如图，四边形的点，，都在上，，分别与相切于，两点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．商场将进价为50元件的某种商品以80元件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，点是上一点，以为直径在正方形内作半圆，将沿翻折，点刚好落在半圆上的点处，则的长为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题，每题3分） 9．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 　　． 10．若为方程的一个解，则的值为 　　． 11．某地2020年新能源汽车的销量为100万辆，2022年新能源汽车的销量为144万辆，设此地新能源汽车的年平均增长率为，则　　（用百分数表示）． 12．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 　　． 13．已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为 　　． 14．已知，则的值为　　． 15．若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足．则的值为 　　． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，的圆心为点，半径为1．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最大值是　 　． 三．解答题（共8小题，共60分） 17．（9分）解关于的一元二次方程： （1） （2） （3） 18．（6分）经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过26元的情况下，若每件童装降价5元，则每周可多售出10件． （1）降价15元后，每件童装盈利是 　　元，每周销售量是 　　件； （2）要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 19．（7分）某校开展了“远离新冠珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组，；，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，90． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 92.5 众数 100 方差 49 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）　　；　　；　　． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握安全知识更好？请说明理由（一条即可）； （3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数是多少？ 20．（7分）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求出的值． 21．（7分）如图，四边形为菱形，点、在以点为圆心的弧上，若，．求扇形的面积． 22．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，点在的延长线上，． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的长． 23．（8分）阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为． 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： （1）方程的两个“共生根”为，，则　　，　　； （2）已知实数，满足，，且，求的值； （3）已知实数，满足，，且，求． 24．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的的半径为，直线与坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，与轴相切于点． （1）求点的坐标及的度数； （2）以每秒1个单位长度的速度沿想轴负方向平移，同时，直线绕点以每秒钟旋转的速度顺时针匀速旋转，当第一次与相切时，请判断直线与的位置关系，并说明理由． 答案与解析 1．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：分别是：21，22，21，23，24，21，23．则这组数据的众数和中位数分别是　　 A．21，23 B．23，21 C．21，22 D．22，21 【分析】根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可求解． 【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是21，共出现3次， 因此众数是21； 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是22， 因此中位数是22， 即：众数是21，中位数是22， 故选：． 2．某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的　　 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．最高分 【分析】反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．他想判断自己是否一定能获奖，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【解答】解：由于总共有45个人，则第23名的成绩是中位数，且只有22人获奖， 所以他判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的中位数． 故选：． 3．小明根据方差公式分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是　　 A． B．众数是3 C．中位数是3 D． 【分析】根据方差的公式得到平均数为3，继而得到，从而得到众数及中位数． 【解答】解：， ，这组数据的平均数为3， ， 解得：，故结论正确； 这组数据为：1、2、3、3、6， 众数是3，故结论正确； 中位数是3，故结论正确； ，故结论不正确． 故选：． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出的取值范围，据此选择正确选项． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， △且， 且， 且， 故选：． 5．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则　　 A． B． C． D． 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：． 6．如图，四边形的点，，都在上，，分别与相切于，两点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，由，与相切，可得，再由即可求解． 【解答】解：连接、，如图， 、与相切， ， ， ， ， 故选：． 7．商场将进价为50元件的某种商品以80元件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设降价元，则每件利润为元，销售量为，根据“每天将盈利1080元”列出一元二次方程即可． 【解答】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为， 由题意得：， 故选：． 8．如图，正方形的边长为4，点是上一点，以为直径在正方形内作半圆，将沿翻折，点刚好落在半圆上的点处，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，然后，可以判定，从而可以得到的度数，再根据折叠的性质可知，从而可以得到点、、三点共线，然后根据勾股定理，即可求得的长，本题得以解决． 【解答】解：连接，， 四边形是正方形，将沿翻折得到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， 点、、三点共线， 设，则，，， ， ， 解得，， 即的长为， 故选：． 9．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 　　． 【分析】利用根与系数之间的关系求解 【解答】解：设另一个根为，由根与系数之间的关系得， ， ， 故答案为， 10．若为方程的一个解，则的值为 　8　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，得出，再整体代入求值即可． 【解答】解：为方程的一个解， 把代入，得， 整理，得， 则， 即． 故答案为：8． 11．某地2020年新能源汽车的销量为100万辆，2022年新能源汽车的销量为144万辆，设此地新能源汽车的年平均增长率为，则　　（用百分数表示）． 【分析】利用此地2022年新能源汽车的销量此地2020年新能源汽车的销量此地新能源汽车的年平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 的值为． 故答案为：． 12．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 　　． 【分析】根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【解答】解：设此扇形的半径为，此扇形的弧长为， ， ， ， ． 此扇形的弧长为． 故答案为：． 13．已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为 　17　． 【分析】根据题意可得出，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【解答】解：这组数据的平均数是4， ， ， 另一组数据的平均数 ； 这组数据的方差为3， ， 另一组数据的方差 ， 另一组数据，，，，的平均数与方差的和． 故答案为：17． 14．已知，则的值为　1　． 【分析】根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【解答】解：设， 则原方程可变形为， 左边因式分解得：， 则或， 解方程得或不能为负数，舍去）； 所以． 故答案为：1． 15．若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足．则的值为 　　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的判别式即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别是，， ，，△， ， ，即， 解得：，， 当时，△， 此时方程无实数根，不合题意，舍去， 当时，△， 此时方程有两个不相等实数根， ， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，的圆心为点，半径为1．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最大值是　　． 【分析】由题意可得当与相切时，面积最大，然后连接，由切线的性质，根据勾股定理，可求得的长，易证得，根据相似三角形的对应边成比例，易求得的长，继而求得面积的最大值． 【解答】解：当与相切时，面积最大， 连接， 则， ，，的圆心为点，半径为1， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ． 故答案为：． 17．解关于的一元二次方程： （1） （2） （3） 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【解答】解：（1）移项，得 ， ， 解得，； （2）因式分解，得 ， 或， 解得，； （3）因式分解，得 ， 或， 解得． 18．经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过26元的情况下，若每件童装降价5元，则每周可多售出10件． （1）降价15元后，每件童装盈利是 　65　元，每周销售量是 　　件； （2）要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 【分析】（1）根据题意分别列式计算即可； （2）设每件童装应降价元，根据每周销售这种童装盈利6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）降价15元后，每件童装盈利是：（元， 每周销售量是：（件， 故答案为：65，90； （2）设每件童装应降价元， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件童装降价20元． 19．某校开展了“远离新冠珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组，；，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，90． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 92.5 众数 100 方差 49 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）　40　；　　；　　． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握安全知识更好？请说明理由（一条即可）； （3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数是多少？ 【分析】（1）根据中位数、平均数、众数、方差的计算方法进行计算即可； （2）比较方差的大小得出答案； （3）求出七、八年级优秀人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）八年级10名学生的竞赛成绩没有低于80分的，且在组中的数据是：94，94，90， 组所占的百分比为， ， 即， 八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，组的有4人，将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即， 七年级10名学生成绩出现次数最多的是99，因此众数是99，即， 故答案为：40；94；99； （2）七年级学生掌握安全知识更好，理由： 七年级的方差为49，八年级的方差是50.4，而， 七年级学生掌握安全知识更好； （3）（人， 答：参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数是864人． 20．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求出的值． 【分析】（1）根据根的判别式得出关于的不等式，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据，得出，然后解方程即可． 【解答】解：（1），是关于的一元二次方程的两个实数根． △， ， 解得：； （2），， 又， ， ， 解得，（舍去）， ． 21．如图，四边形为菱形，点、在以点为圆心的弧上，若，．求扇形的面积． 【分析】连接，根据菱形的性质结合可得出为等边三角形，通过角的计算可求出，再利用扇形的面积公式即可求出结论． 【解答】解：连接，如图所示． 四边形为菱形， ． ， 为等边三角形， ， ． ， ，即， ． 22．如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，点在的延长线上，． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的长． 【分析】（1）连接，根据三角形外角的性质证得，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得出，再证，即可得出，于是问题得证； （2）连接，设，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得出，从而求出的值，最后根据弧长公式即可得解． 【解答】（1）证明：如图1，连接， 是的一个外角， ， 即， ． ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接， 设， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 即， ， ， 的长为． 23．阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为． 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： （1）方程的两个“共生根”为，，则　4　，　　； （2）已知实数，满足，，且，求的值； （3）已知实数，满足，，且，求． 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解； （2）利用、满足的等式，可把、可看作方程的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到，，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则，可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）根据题意得：，， 故答案为：4，； （2），，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ， ； （3）， ， ， ，即，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ． 24．如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的的半径为，直线与坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，与轴相切于点． （1）求点的坐标及的度数； （2）以每秒1个单位长度的速度沿想轴负方向平移，同时，直线绕点以每秒钟旋转的速度顺时针匀速旋转，当第一次与相切时，请判断直线与的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）已知直线的解析式，分别令和，即可求出、点的坐标，进而确定的度数． （2）当第一次与相切时，即两圆外切，，所以的圆心的坐标应为，所以第一次相切，是经过了，又因为直线绕点以每秒钟旋转的速度顺时针匀速旋转，所以钟转了，此时，点到直线的距离等于半径1，所以直线与相切． 【解答】解：（1）直线的解析式是， 直线与轴的交点坐标是， 令，则，解得，， 直线与轴的交点是， ，所以． （2）如图示，连接并延长，交旋转后的直线于点，过作于， 当第一次与相切时，即两圆外切， ， 的圆心的坐标应为， 点的坐标为 第一次相切，是经过了， 又直线绕点以每秒钟旋转的速度顺时针匀速旋转， 钟转了， 由题意知，， ， ， 即， 此时，点到直线的距离等于半径1，所以直线与相切． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$