2.4 直线与圆锥曲线的位置关系 练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.4直线与圆锥曲线的位置关系 练习 一、单选题 1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 2．过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（    ） A． B．5 C． D．4 3．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 7．已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 二、多选题 9．已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线C方程为： B．设，则周长的最小值为4 C．若，则直线的斜率为或 D．轴上存在一点N，使为定值 10．已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，直线与C交于A，B两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　） A．四边形为平行四边形 B．可能为直角 C．四边形面积最大为4 D．直线的斜率为 11．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，点是上的一点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或1 B．不存在点为线段的中点 C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 D．内切圆圆心的横坐标为 三、填空题 12．已知抛物线，过点的直线交C于P、Q两点，O为坐标原点，且，则 . 13．已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 14．若，是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交所得弦的长度为8． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点，是抛物线上异于点的另外两点，且直线和直线的斜率之和为，判断直线是否经过一定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 16．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 17．已知椭圆（，）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，点P、Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率不为0的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于G、H两点，直线、与直线分别交于点M、N.求证：M、N两点的纵坐标之积为定值. 参考答案 1．D 【分析】过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，结合抛物线定义可得，可得为等边三角形，即，求出直线的方程与抛物线C的方程联立，求得点N的横坐标为，可得垂直x轴，在中，利用运算得解. 【详解】   如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 因为M为靠近点F的的三等分点，所以， 因为，所以，由抛物线定义知，， 所以，在中，因为， 所以，因为，所以， 由抛物线定义知，，所以为等边三角形， 所以，可得点P的横坐标为， 设与x轴的交点为G，由及， 因为直线的斜率为，点， 所以直线的方程为， 联立，消去y化简并整理得，， 解得或，则点N的横坐标为，又点P的横坐标为， 可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由， 所以． 故选：D． 2．B 【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值. 【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， ， 解得，设， 则， ， 所以. 故选：B 3．A 【分析】根据点斜式求出直线的方程与椭圆联立可以两交点纵坐标，根据椭圆的性质以及三角形面积公式可求的半径. 【详解】依题意，直线的方程为即， 联立解得，所以，从而， 的周长为，面积为， 又，所以. 故选：A 4．D 【分析】先判断斜率为0不符合题意，再设直线方程为，联立双曲线方程，由结合韦达定理列出方程，求解即可. 【详解】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意； 当直线的斜率不为零时，设直线的方程为， 联立，得， 设，由得， 而，即，解得，即． 故选：D 5．D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 6．D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 7．C 【分析】确定与距离为的直线，由题意这条直线与相切或没交点，联立方程，由韦达定理即可求解. 【详解】 设平行且距离为的直线方程为， 所以，解得或（结合图象舍去） 设直线与平行且它们之间的距离为，则的方程为， 由整理，得， 因为上的点到直线的最短距离不小于， 所以与椭圆相切或没有交点， 所以，整理得， 由椭圆的离心率为，可知，所以， 所以，则，所以. 故选：C. 8．D 【分析】根据条件，设，利用点到直线的距离公式得到，再利用辅助角公式及的性质，即可求解. 【详解】由题可设， 则点到直线的距离为，其中， 所以当时，最小，最小值为. 故选：D. 9．ACD 【分析】A选项，运用准线方程求出p,求出抛物线方程判断A；B选项，表达出周长，数形结合当A，C与点Q三点共线时，求出最小值；C选项，设直线AB的方程为，联立，设，，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求解得到答案；D选项，设，表达出，即存在点使得为定值0． 【详解】A选项，抛物线的准线方程为，所以，则， 所以抛物线，故A正确； B选项，如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于，， 根据抛物线的定义可得， 所以周长为， 由图可知，当A，C与点Q三点共线时，有最小值， 最小值为Q到准线的距离为， 所以， 所以周长的最小值是，故B错误； C选项，设直线AB的方程为， 联立，整理可得：，易知， 设，，可得，， ∵，，解得，， ，解得，，因此C正确； D选项，设在x轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在点使得为定值0．故D项正确． 故选：ACD． 10．AD 【分析】根据对称性判断A，用反证法判断B，由面积为4确定点位置，从而确定直线位置后判断C，设，计算斜率判断D． 【详解】由椭圆方程得，，， 选项A，由椭圆的对称性得，又，所以四边形AF1BF2为平行四边形，A正确； 选项B，若为直角，则，所以是椭圆短轴顶点，即椭圆与的轴交点，此时，直线与轴重合，不存在，B错； 选项C，四边形面积为，，则是短轴顶点，此时直线直线与轴重合，不存在，C错； 选项D，设，则，，，，D正确． 故选：AD．    11．BCD 【分析】对于A，由离心率求得，再结合双曲线定义即可判断；对于B，由即可判断；对于C,结合双曲线渐近线斜率即可判断；对于D，结合双曲线定义即可 【详解】对于A，离心率为，解得：，则或1.又因为，故A错； 对于B，假设存在点为线段的中点，则，又， 线段，联立与双曲线， 整理得：，，矛盾， 所以不存在点为中点的弦，故B正确； 对于C，由于双曲线的渐近线斜率为，直线与双曲线的两支各有1个交点，则直线的斜率，故C正确； 对于的内切圆与轴相切于点，则由双曲线定义得： ， 所以，即内切圆圆心的横坐标为，所以D正确， 故选：BCD. 12．/ 【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用列方程来求得. 【详解】依题意，抛物线C的焦点在x轴的正半轴上， 设直线的方程为，点，. 由，消去x化简并整理得， 则有，， 由，得，解得. 故答案为： 13． 【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程． 【详解】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 14．6 【分析】设，，中点，利用点差法可得直线的斜率，再利用中垂线可得，然后利用抛物线的定义，由即可求解. 【详解】 设，，中点， 则， 设斜率为，则， 相减得：， 因为，即， 设抛物线的焦点为，， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 此时满足在抛物线内部， 所以的最大值为6. 故答案为：6. 15．(1)； (2)过定点，理由见解析. 【分析】（1）根据题设有相交弦所在直线为，联立抛物线并应用弦长公式列方程求参数p，即可得抛物线方程； （2）令，其中且均不为，根据题设得到，再写出直线方程，即可确定定点. 【详解】（1）由题设，抛物线焦点为，则相交弦所在直线为， 联立抛物线，整理得，令交点坐标分别为， 所以，， 由题设，而， 所以，故. （2）直线过定点，理由如下： 令，则，即， 令，其中且均不为，则，， 又直线和直线的斜率之和为，所以，即， 直线为， 所以，显然直线恒过点.    16．(1)； (2). 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义与勾股定理列式求解即可得椭圆方程； （2）直线与椭圆相交确定交点坐标关系，根据坐标运算即可得结论. 【详解】（1）因为点P，Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，所以四边形为矩形， 又，所以.    所以，由椭圆定义与勾股定理知， 所以，所以，所以. 又，解得. 所以，故椭圆C的标准方程为. （2）因为，所以可设直线的方程为. 联立方程组，消去x化简并整理得. 设，，可得，. 因为，所以直线的方程为. 设点M、N的纵坐标分别为，，令，可得，同理可得. 所以 . 所以M、N两点的纵坐标之积为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$