1.5 数学归纳法 练习-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.5数学归纳法 练习 一、单选题 1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 2．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 3．用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 4．已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 5．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 6．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 7．用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 8．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 二、多选题 9．已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 10．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶数 B． C． D． 11．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 12．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 13．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 14．用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为 . 四、解答题 15．已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 16．用数学归纳法证明：，，． 17．用数学归纳法证明：． 参考答案 1．B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 2．C 【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断. 【详解】当时，，所以左边为. 故选：C. 3．A 【分析】列出增加的项，即可得解. 【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 4．B 【分析】由数学归纳法、等比数列求和公式即可求解. 【详解】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论． 由等比数列求和公式知,命题正确. 故选：B． 5．D 【分析】利用归纳法可得个圆最多把平面分成个区域，可得结论. 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 6．D 【分析】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 【详解】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 7．D 【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【详解】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D 8．D 【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 左边增加的项为，共项. 故选：D 9．AD 【分析】根据数学归纳法的步骤判断即可. 【详解】由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即， 所以D正确． 故选：AD 10．BD 【分析】判断数列的项的奇偶性的规律，判断A；利用递推关系判断B；举出反例判断C；利用数学归纳法可判断D. 【详解】对于A，由于斐波那契数列满足：为奇数，， 则为偶数，为奇数，为奇数，为偶数， 依次类推，即数列的项按“奇数奇数偶数”的规律循环出现， 即所有序号为3的倍数的项为偶数，其余项为奇数， 而，故为奇数，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，取，此时，C错误； 对于D，首先用数学归纳法证明一个结论：当n为奇数时，； 当时，，结论成立； 假设当（k为奇数）时，， 则时， ， 即时，结论也成立， 故当n为奇数时，，故，D正确， 故选：BD 【点睛】关键点睛：本题考查了数列新定义即斐波那契数列的性质问题，解答的难点在于要能根据数列的规律明确相关的性质，特别是D的判断，要先用数学归纳法证明相关的结论，继而即可判断. 11．BC 【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 12．CD 【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明. 【详解】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为， 所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立， 故选：CD 13． 【分析】将代入计算可得结果. 【详解】当时，. 故答案为： 14．3 【分析】化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可 【详解】由题得，即， 当时，，不符合； 当时，，不符合； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立， 当时，根据指数函数与一次函数的性质可得. 所以满足题意k的最小值为3. 故答案为：3. 15．(1)；；． (2)当时，，证明见解析． 【分析】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. 【详解】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 16．证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的过程，先证明当时等式成立，再假设当时等式成立，代入化简得时成立即可. 【详解】①当时，，，等式成立； ②假设当时等式成立，即，． 那么当时， ，等式也成立． 根据①和②，可知 对任何都成立．原等式得证． 17．证明见解析 【分析】按数学归纳法的步骤证明即可，即验证时等式成立，且假设时等式成立，证明时等式成立即可. 【详解】当时，等式左边，等式中间，等式右边，即等式左边=等式中间=等式右边，等式成立； 假设时等式成立， 即有成立， 我们分两步来证明当时，等式成立，即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可， 第一步：由假设可知，当时， 有 成立， 即当时，等式左边=等式中间成立； 第二步：由假设，所以此时有成立， 从而可知，当时，有 成立， 即当时，等式中间=等式右边成立； 结合以上两步有：若当时等式成立，则当时等式成立； 综上所述：由数学归纳法可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$