15.3 分式方程的解法 课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

分式方程的解法 1 在9世纪左右，波斯（今伊朗）数学家花拉子米的《代数学》中就有可用分式方程解决的问题。 示例：将10分成两部分，第一部分除以第二部分，第二部分除以第一部分，商的和是二又六分之一，问两部分各为多少？ 13世纪的意大利数学家斐波那契的《计算之书》中也出现许多可用分式方程解决的问题。 示例：若干人平分60第纳尔（当时的货币单位），若加上两人，再平分60第纳尔，则每人所得比第一次少2第纳尔，问共有几人？ 1 什么叫做方程 含有未知数的等式 3 前面学过哪些方程 1.一元一次方程和二元一次方程 2.它们都是整式方程 3.一元一次方程解法：①②③④⑤ 2 什么叫做方程的解 使等式成立的未知数的值，叫做方程的解 4 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，问江水的流速为多少？ 设江水的流速为km/h,则轮船顺流航行90km所用时间为 ；逆流航行60km所用时间为 ，可列方程为 。 复习引入 5 方程 ， ， 中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 分式方程的特征是什么？ 1.是方程 2.方程中含有分式 3.分母中含有未知数 知识点1 分式方程 6 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程. 整式方程 分式方程 方法总结 判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)． 8 一元一次方程解法： 解: (去分母) (去括号) (移 项) (合并同类项) (系数化为1) 9 思考 如何解分式方程① 可以先去分母，将分式方程转化为我们熟知的整式方程，再解整式方程． ① 方程两边同乘分母的最简公分母 得 解得 检验：将v=6代入原方程中，左边=2.5=右边，因此v=6是原方程的解. 11 下面我们再讨论一个分式方程 ② 在方程两边乘最简公分母 ， 得 x+5=10 解得 x=5 (x-5)(x+5) x=5是原分式方程的增根 x=5是原分式方程的解吗？ ∴原分式方程无解 检验：将x=5代入原方程，发现x-5-25的值都为0，相应分式无意义。因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解. 12 知识点2 解分式方程 思考 上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）. 方程① 方程② 当v=6时， ≠0，这就是说，去分母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. 当x=5时， =0，这就是说，去分母时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解. (x-5)(x+5) (30+v)(30-v) 例1 解方程 . 解：方程两边乘 x（x-3），得 2x = 3（x-3） 解得 x = 9 检验： 当 x = 9时， x（x-3）≠0， 所以，原分式方程的解为 x =9. 能力拓展 15 例2 解方程 . 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得x=1 检验： 当x=1时，(x-1)(x+2)=0 所以，原分式方程无解. 因此， x=1不是原分式方程的解. 解分式方程容易犯的错误有： (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘。 (2) 约去分母后，分子是多项式时,要注意添括号。 （因分数线有括号的作用） (3) 忘记检验。 必须检验 知识回顾 分式方程 步骤 转化为整式方程 解这个整式方程 检验 增根 最简公分母是否为零！ 谢谢观看 $$