12.3 角的平分线的性质 课件（18张PPT）2024-2025学年人教版数学八年级上册

角的平分线的性质 1 问题1：在纸上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ 问题2：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？ 问题3：如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD, BC=DC. 将点 A放在角的顶点, AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线 AE, AE就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？ A B C D E 3 A B C D E 已知：AB=AD, BC=DC. 求证：AE 平分∠BAD. 证明：在△ABC与△ADC中， AB=AD， BC=DC， AC=AC， ∴ △ABC ≌ △ADC（SSS). ∴∠BAC = ∠DAC. 即AE 平分∠BAD. 利用尺规作角的平分线： 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B C D E A B O 作法： （1）以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB于点 N. A B M N C O A B C D E （3）画射线 OC. 射线 OC 即为所求. （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点 C. 6 A B M C N 证明： 在△OMC和△ONC中， 连接MC ， NC O OM = ON， MC = NC， OC = OC， ∴ △OMC ≌△ONC(SSS). ∴ ∠MOC= ∠NOC， 即OC平分∠AOB 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线 OC，在 OC 上任取一个点 P，分别过点 P作 PD⊥OA，PE ⊥OB, 分别记垂足为点D、E，测量PD、PE的长并作比较，你能得到什么结论？ C O B A p D E 在 OC 上再取几个点试一试，通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 已知：如图，∠AOC= ∠BOC, 点 P 在 OC 上， PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为D, E. 求证：PD=PE. P A O B C D E P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA, PE⊥OB， ∴∠PDO = ∠PEO = 90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO = ∠PEO， ∠AOC = ∠BOC， OP = OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. B A D O P E C 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， （ ∠AOP= ∠BOP ） ∴PD = PE. PD⊥OA, PE⊥OB， 垂足分别为D，E. B A D O P E C 角分双垂得等距 定理的作用： 证明线段相等. 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 例 如图，在Rt△ABC中， AC = BC, ∠C ＝90°， AP 平分∠BAC交 BC 于点 P，若PC＝4，求点 P 到边 AB 的距离. 解：过点 P 作 PD⊥AB 于点 D. ∵ AP 平分∠BAC ，∠C＝90°， PD⊥AB 于点 D， ∴ PD = PC. ∵ PC=4， ∴ PD=4. 即点 P到边 AB 的距离为4. D B A C P 1 尺规作图 尺规作一个角的平分线 3 定理应用 角分双垂得等距 2 角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 今天研究内容 16 课后作业 1.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD平分∠BAC 交BC于点 D，DE⊥AB，垂足为 E. 若 BC=4 ，DE =1.6 ，则 BD的长为______. 2.如图，在△ABC 中，AD平分∠BAC, DE⊥AB. 若 AC=2 ，DE =1, 则 = _____. 3.如图，已知 △ABC ,用直尺和圆规作∠ABC 的平分线,保留作图痕迹,不写作法 . 4.如图，在△ABC 中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点 P，且 PE⊥AB, PF⊥AC，垂足分别为 E, F. 求证：PE = PF . $$