2.3 用公式法求解一元二次方程 课件2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

用公式法求解一元二次方程 单击此处添加副标题 1 1.请同学们回顾，在前面的学习中，学过哪些解一元二次方程的方法？ 温故知新 直接开方法 配方法 转化 2 （1） . 2.用配方法解下列一元二次方程 解： . . （2） 解： . . . . 配方法解方程的步骤: 1.二次项系数化为1; 2.移项; 3.配方; 4.开平方; 5.定解. . . 3 探究1：利用配方法，你能解出关于的一元二次方程吗？ 探究学习 解： 二次项系数化为1，得： 移项，得： 配方，得： 即： 思考：两边可以直接开平方吗？ 因为 根据等式的基本性质 一次项系数一半的平方 4 . 因为，所以. . 当时，是一个非负数，此时两边开方得： . . . . . . . 5 这就是说，对于一元二次方程，当时，它的根是： 这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 总结 6 （1） 解： ∴ 即 ∵ 注意 的符号 判断 的正负 例1.试用公式法解下列方程： 7 （2） 解：方程化为 ∵ ∴ 即 注意 的符号 判断 的正负 例1.试用公式法解下列方程： 8 通过上述例题的练习，请总结出用公式法求解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程化为一般式 （3）计算，并判断正负 （4）若，则带入求根公式 若，则方程无实数根 （5）写出方程的两个实数根 总结 （2）写出的值（注意符号） 9 一元二次方程的解法 直接开方法 配方法 公式法 总结 10 探究2：回顾求根公式的推导过程及例1的求解过程，你能分析出求解一元二次方程根的影响吗？ 当时，方程有两个不相等的实数根 当时，方程没有实数根 当时，方程有两个相等的实数根 11 由此可知，一元二次方程的根的情况可由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示. 总结 12 例2.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1） 解：方程可化为 . 所以方程有两个不相等的实数根 注意 符号 13 例2.不解方程，判断下列方程的根的情况： （2） 解：方程可化为 . . . 所以方程没有实数根 注意 符号 14 已知关于的一元二次方程. （1）试判断方程的根的情况. （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求的取值范围. 解：（1）∵ ∴ ∴此方程总有两个实数根. . . . 大展身手 15 （2） 即 ∵此方程有一个根大于0且小于1 ∴ ∴2 已知关于的一元二次方程. （1）试判断方程的根的情况. （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求的取值范围. 大展身手 16 课堂小结 配方法 公式法 推导 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 前提： 17 我们知道：一元二次方程可用公式来求得解，这个公式早在公元9世纪已由阿拉伯数学家阿尔·花拉子米给出. 一元三次方程有求根公式吗？有，这个公式是1545年由意大利的卡尔达诺发表在《大术》书中，人们就把它叫做“卡尔达诺公式”或“卡当公式”. 至于一元四次方程的求根公式，则由卡尔达诺的学生费拉里找到了. 拓展阅读 18 一元三次、四次方程求根公式找到后，人们又在努力寻找一元五次方程求根公式. 但三百年过去了，仍然没有成功.当人们从正面寻找解决问题途径无望的时候，有人开始从反面去考虑它，即证明：一元五次及五次以上方程没有公式解(求根公式).这一点被年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实. 代数方程可解性问题的完满解决应归功于法国数学奇才伽罗瓦，他的成果被后人称之为伽罗瓦理论. 拓展阅读 19 $$