第二章 一元二次方程 回顾与思考 教案2024-2025学年北师大版数学九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 一元二次方程回顾与思考 教学目标 1. 能根据现实情境理解一元二次方程的意义，能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，并在求解过程中体会转化等数学思想. 2. 能应用一元二次方程解决实际问题（面积、体积、平均变化率、营销问题等），进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 3. 通过解决情境任务，能建立一元二次方程的知识结构图. 教学内容 1. 教材分析： 本章主要学习一元二次方程及有关概念、一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题，其中解一元二次方程的基本思路和具体解法及在实际情境中抽象出数学模型进而解决问题的过程是本章的重点内容. 方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习作好了准备. 2. 学情分析： 应用一元二次方程解决实际问题时，出现的错误有三种：一是不能正确的列出方程；二是虽然列出了方程，但解答错误；三是解答正确但不能正确取符合题意的解. 3. 教学重点：分析实际问题并寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题. 4. 教学难点：寻找等量关系建立方程模型；选择合适的方法解方程. 教学过程 一、创设情境： 小麦是一种非常重要的粮食作物，被广泛用于面粉、面条、馒头、糕点等食品加工中，还被应用于酿酒、工业原料等领域。中国是世界上最大的小麦生产国，我们的家乡就是一个“大粮仓”，运城地处北纬 35°的黄土高原区，土层深厚、光照充足、雨量适中，是全球小麦生产的黄金带。 今年暑假，老师去到了邻居吴大叔的农场，吴大叔发现在小麦种植、收获、销售到包装的过程存在一些相关数学的问题。本节课让我们一起去帮他出谋划策、解决疑难. 设计意图：介绍大情境——本节课以农场主吴大叔的视角讲述小麦的一生，在小麦一生的每个阶段吴大叔会提出他所遇到的问题，这些问题作为真实的情境任务交给学生们解决，本节课把解方程的方法（因式分解法、直接开平方法、配方法、公式法）与一元二次方程的应用（面积、体积、平均变化率、营销问题）融入一个“小麦情境”当中，通过对该真实情境所蕴含问题的理解及其解决，帮助学生小结及整理该章知识点，内容涉及有关概念、方程解法、数学思想及其实际运用。 二、任务探究： 【任务一】培育种植——试验田的围建（指向目标1，目标2面积问题） 吴大叔为培育小麦新品种，开辟了一块矩形试验田，试验田的一边靠墙（墙长15米），其中一边开有一扇1米的门，其余部分共用29米栅栏恰好围成，试问能围成面积为100平方米的矩形试验田吗？若能，说明围的方法，若不能，说明理由. 设计意图：遵循万物生长规律，首先在小麦的培育种植阶段，提出试验田靠墙围建任务。该问题可转化为用一元二次方程解决简单几何图形的面积问题，让学生回顾求解一元二次方程的方法，这里主要是公式法，同时学生也进行了用一元二次方程知识解决实际问题的建模尝试，教学旨在检查学生对问题情境的理解、数学抽象和表达。 解答后思考（口述）： （1）你所列的方程是什么方程？理由是什么. （2）你是用什么方法解方程的？你还知道哪些解一元二次方程的方法？ 设计意图：通过问题（1），学生复习一元二次方程及其相关概念，回顾判断一元二次方程的步骤。而问题（2）的目的在于引导学生回想一元二次方程的多种解法，进行简单的概念复习和方法总结。 【任务二】成熟收获——亩产量的增加（指向目标1，目标2变化率问题） 每年的6月是小麦的丰收时节，2021年吴大叔家小麦亩产量为500千克，引进新品种后，2023年亩产量比2021年多105千克，求2021-2023年小麦亩产量的年平均增长率？ 设计意图：小麦培育种植后，农人精心耕种，以期盼在收获时节有一个好收成，第二个任务背景相关小麦亩产量，本任务考察平均变化率的理解与计算，同时在解方程时引导学生对比多种解法的优势，归纳特殊方程的便捷解法。 【任务三】生产销售——面粉的效益（指向目标1，目标2营销问题） 小麦收获以后，吴大叔对其进行初步加工，磨制成面粉出售，5千克袋装面粉成本为20元，当售价为30元每袋时，每天可售出10袋，为了让利于百姓并尽快减少库存，吴大叔决定降价销售，当每袋售价降低1元时，每天可多售出5袋，要使该种面粉每天的利润达到160元，每袋面粉应降价多少元？ 设计意图：面粉是小麦经过初加工的产品，关于面粉的出售会引出营销应用。教学重点在于“知识向能力转化”，试想若学生不理解或不能用数学语言表达问题情境，即使会“解一元二次方程”，那么也无法真正地“解决问题”。营销问题是本章节的难点所在，相关等量关系众多，解决时较为复杂，教师需引导学生逐步分析，可以利用表格梳理关系，最终实现问题解决。本情境所列方程在求解时，配方法、公式法、因式分解法均可轻松计算。 【任务四】加工包装——包装盒的设计（指向目标1，目标2体积问题） 中秋将至，为了拓宽销路，吴大叔计划生产一批月饼，现需制定包装盒，设计时如图有一张矩形纸片，长比宽多cm，在它的四角分别减去一个边长为cm的正方形，折叠成一个无盖的长方体纸盒，量得该长方体纸盒体积为cm³，设矩形纸片的长为cm，则的值为多少？ 设计意图：为了有更好的销量，吴大叔投入月饼生产，这里涉及其包装盒的设计制作，随之引出利用一元二次方程解决体积问题的应用。关于本任务设计无盖的长方体纸盒，这里直接设出了矩形纸片的长，最终学生列得方程，化为一般形式后变为不含常数项的一元二次方程，而该类方程在求解时，通过提公因式，应用因式分解法能更快更准确地得出结果。 【情境小结】 归纳应用方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答. 设计意图：吴大叔的难题都已解决，四个任务也让我们更加深刻的感受到方程来源于生活，又服务于生活的特点。完成任务之后，引导学生归纳总结，得出应用方程解决实际问题的一般步骤。 三、课堂小结： 通过今天的学习，同学们有了哪些收获？ 设计意图：梳理本章内容，明确一元二次方程在初中数学知识体系中的地位及作用，同时用思维导图的方式呈现全章知识结构，清晰明了，带领学生回顾本章学习过程，体会其中类比、转化、建模等数学思想，归纳方程的一般学习步骤：概念、解法、应用、关系，为九年级下册第二章：二次函数与一元二次方程的关系做铺垫。 四、作业练习： 基础达标作业： 1. 下列方程是一元二次方程的有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 设计意图：围绕一元二次方程的概念，考察依据概念判断一元二次方程的过程。呼应任务一中解答后思考（1）的相应练习。 2. 若关于的方程的两根分别为，则的值为多少？ 设计意图：考察一元二次方程的根与系数关系，由于之前的情境中并未涉及相关知识，所以这里特意安排习题进行对应练习。 能力提升作业： 3. 制作包装盒时，吴大叔的女儿设计了一个有盖长方体纸盒的方案：在一块长为40厘米，宽为30厘米的矩形硬纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），若折成的长方体盒子的表面积为950平方厘米，求长方体盒子的体积。 设计意图：本题是对小麦情境的任务拓展。解方程与用方程解决实际问题有本质区别：求解方程只是一个纯粹的数学问题，而用方程解决问题则是一个学科领域或社会生活与数学的关联。再次设计方程应用练习，能使学生更好的体会生活中的数学、感受数学的应用价值。 拓展延伸作业：（选做一题即可） A.命制一道一元二次方程的应用题. B.一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明. 五、自我评价： 对标自评 分值 任务一得分 任务二得分 任务三得分 任务四得分 1.审题，找等量关系 - - - - - 2.设未知数 1 3.列方程 4 4.解方程 2 5.检验 2 6.答 1 总分 10 总得分: 设计意图：引导学生梳理一元二次方程实际应用的一般步骤：审、设、列、解、验、答。为学生提供中考数学方程应用题的评分安排，学生可对照要求，明确规范的格式书写，也能够给自己的作答打分，找到自己的不足之处，进而改正。 学科网（北京）股份有限公司 $$