2.3 用公式法求解一元二次方程 教案2024-2025学年北师大版数学九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 用公式法求解一元二次方程 教学目标 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，发展推理能力和抽象能力； 2.能正确熟练地使用公式法求解一元二次方程，提高综合运算能力； 3.不解方程，会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况. 教学内容 本章的地位： 本节课的地位： 教学重点： 能正确熟练地使用公式法求解一元二次方程； 不解方程，会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况 教学难点： 能用配方法推导出一元二次方程的求根公式 教学过程 一、温故知新 1. 请同学们回顾，在前面的学习中，学过哪些解一元二次方程的方法？ 答：直接开方法，配方法 无论是直接开方法，还是配方法，都是为了将一元二次方程转化成的形式 2. 用配方法解下列一元二次方程 （1） 解： （2） 解： 回顾配方法解方程的步骤: 1.二次项系数化为1; 2.移项; 3.配方; 4.开平方; 5.定解. 问：请同学们再比较这两个解方程的过程，哪个更简单呢？ 答：第一个方程的过程比第二个更简单，因为第一个方程的二次项系数为1，且一次项系数为偶数，在配方的过程中不会出现分数，因此便于计算. 而第二个方程，在用配方法求解时会出现分数，增加了计算难度. 问：那么，在解第二个方程时，有没有更简单的方法呢？ 接下来，让我们一起来探究. 设计意图： 1. 进一步巩固用配方法解方程的一般步骤. 第（2）题在配方时是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致. 2. 比较两个解方程的过程，让学生切身感受到，用配方法解某些方程时会有一定局限性，从而为本课的公式法做铺垫. 二、探究学习 探究1：利用配方法，你能解出关于𝑥的一元二次方程吗？ 学生自主推导，并针对自己推导过程中出现的问题在小组内自由研讨.最后由师生共同归纳总结，得出求根公式. 解：二次项系数化为1，得：（因为，由等式的基本性质可得） 移项，得： 配方，得：（一次项系数一半的平方） 即： 思考：此时两边能直接开平方吗？ 答：不可以，因为不能保证 思考：什么情况下？ 答：因为，所以.要使，只要使即可 当时，两边开方得： 移项得： 由得： 由得： 即 总结：这就是说，对于一元二次方程，当时，它的根是： 这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 设计意图： 让学生亲身经历公式的推导过程，发展逻辑思维能力，提高推理能力. 只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识. 例1.试用公式法解下列方程： （1） 解：（注意，，的符号） ∵（判断的正负） ∴ 即 （2） 解：方程化为 ∵（注意，，的符号） ∵（判断的正负） ∴ 即 总结1：通过上述例题的练习，请总结出用公式法求解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程化为一般式， （2）并写出的值（注意符号） （3）计算，并判断正负 （4）若，则带入求根公式； 若，则方程无实数根 （5）写出方程的两个实数根 总结2：一元二次方程的解法，到目前为止，我们学习了直接开方法，配方法和公式法. ①利用配方法可以推导出求根公式，配方是推导求根公式的过程. ②公式法则省去了配方的中间过程，直接利用了配方的结果. ③公式法的优点是操作简单，直接计算，是解一元二次方程的通法. 设计意图： 通过解方程，让学生自主总结出用公式法求解一元二次方程的一般步骤，进一步巩固用公式法解方程，提高学生的运算能力. 探究2：回顾求根公式的推导过程及例1的求解过程，你能分析出对求解一元二次方程根的影响吗？ 当时，方程有两个不相等的实数根 当时，方程有两个相等的实数根 当时，方程没有实数根 总结：由此可知，一元二次方程的根的情况可由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示. 例2.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1） 解：方程可化为 所以方程有两个不相等的实数根 （2） 解：方程可化为 所以方程没有实数根 设计意图： 通过回顾求根公式的推导过程，让学生自主总结出对求解一元二次方程根的影响，进一步加深对公式法的认识，提高学生的运算能力. 三、大展身手 已知关于𝑥的一元二次方程. （1）试判断方程的根的情况. （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求𝑘的取值范围. 解：（1）∵ ∴ ∴此方程总有两个实数根. （2） 即 ∵此方程有一个根大于0且小于1 ∴ ∴2 设计意图： 检测学生本节课所掌握知识的情况，对本节课的内容进行升华. 四、课堂小结 通过本节课的学习，你收获了哪些知识？ 设计意图： 通过回顾本节课的学习历程，进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中. 五、拓展阅读 我们知道：一元二次方程可用公式来求得解，这个公式早在公元9世纪已由阿拉伯数学家阿尔·花拉子米给出. 一元三次方程有求根公式吗？有，这个公式是1545年由意大利的卡尔达诺发表在《大术》书中，人们就把它叫做“卡尔达诺公式”或“卡当公式”.至于一元四次方程的求根公式，则由卡尔达诺的学生费拉里找到了. 一元三次、四次方程求根公式找到后，人们又在努力寻找一元五次方程求根公式.但三百年过去了，仍然没有成功.当人们从正面寻找解决问题途径无望的时候，有人开始从反面去考虑它，即证明：一元五次及五次以上方程没有公式解(求根公式).这一点被年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实. 代数方程可解性问题的完满解决应归功于法国数学奇才伽罗瓦，他的成果被后人称之为伽罗瓦理论. 设计意图： 通过阅读这段材料，开阔学生视野，拓展思维，让学生认识到探索和求知精神的重要性，并激发学生对数学的积极性。 学科网（北京）股份有限公司 $$