2.7 二次根式及性质 教案2024-2025学年北师大版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 二次根式及性质 教学目标 1.理解二次根式和最简二次根式的概念，培养用数学的眼光观察现实世界的能力，并能发现并抽象出研究对象的属性，归纳形成概念. 2.探究并掌握二次根式的性质，经历观察、计算、猜测、验证的活动过程，归纳出二次根式的性质，发展符号意识、抽象能力和合情推理能力，养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神. 3.能用二次根式的性质将二次根式（根号下仅限于数）化为最简二次根式，提高运算能力，进一步养成自我反思、勇于探索的精神. 教学内容 教材分析： 《二次根式及性质》位于北师大版八年级上册第二章的第七节.在本章学习过算术平方根、平方根和开平方运算,学生对二次根式的形式并不陌生.本节的学习为后续二次根式的混合运算以及日后整式和分式等的进一步学习打下基础. 本节以观察几个二次根式为出发点，归纳出二次根式的概念.通过“做一做”环节，自主探索积的算术平方根和商的算术平方根的两条性质.通过对例题化简结果的观察，归纳出最简二次根式的概念.最后通过三个二次根式的化简，掌握化简简单二次根式的方法. 学情分析： 学生之前已经学习过算术平方根的概念，算术平方根与二次根式联系非常紧密，为学生理解二次根式的概念打下了基础.学生之前已经经历过有理数的运算和整式的乘除等归纳过程，对归纳有一定的活动经验，且会用符号语言和文字语言描述运算性质.所有这些都为学生学习二次根式奠定了坚实的基础.因此教学中要利用这些既有的知识储备作为知识生长的“最近发展区”来促进新课的学习. 教学重点： 会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，会利用积的算术平方根和商的算术平方根的性质化简二次根式. 教学难点： 利用二次根式的性质化简二次根式. 教学过程 1、 问题导入 【任务一】二次根式的概念 观察下列代数式： 1.请说一说这些式子分别表示什么意义？（口述） 设计意图：教师引导学生说出各式的意义，都是各个数的算术平方根.体会算术平方根和二次根式联系的紧密. 2.这些式子都有什么共同特征？ 设计意图：引导学生用数学的眼光观察，从数与运算的角度去观察，会得到两个特征.1.都含有开平方运算(或都含有二次根号)；2.被开方数都是非负数.最后达成共识，归纳出二次根式的概念. 二、探究新知 归纳概念：一般地，形如的式子叫二次根式，叫做被开方数. 练习1：下列哪些是二次根式?说说你是怎么判断的. （1） （2） （3） （4） （5） 设计意图：即学即练，让学生在练习中加深对二次根式概念的理解.这里应侧重让学生理解被开方数是非负数的要求，不必深究怎样判断一个式子是不是二次根式. 追问：那么当中的是怎样的实数时，该式是二次根式？ 设计意图：承接练习1中最后一个题，加深学生对二次根式“被开方数是非负数”这一条件的理解，会求二次根式的被开方数中字母取值范围. 【任务二】探究二次根式的性质 性质一： 观察并计算下列各式，你能得到什么猜想？ = = . = = . 你发现了什么？用字母表示你的猜想. 猜想： 设计意图：意在引领学生自主探究二次根式的性质.实数的理论非常高深，初中生不可能充分理解，因此严格论证二次根式的性质对学生来说是很困难的.这就决定了教学时应充分利用学生已有的经验去学习，不能过于追求严密的逻辑体系.这里从特殊数入手，希望学生能获得一些感性经验.引导学生观察两组式子的结构，总结归纳出来符号语言. 根据你的猜想，估计下面两个式子是否相等？借助计算器验证你的猜想.多试几组式子，小组内交流你们的结果. 设计意图：仅仅通过两个特例从而猜想出来二次根式的性质是不够充分的.通过部分个体具有某种属性，从而推出该类全部对象都具有某种属性，这是不完全归纳法.根据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步验证结论的可靠性. 学生应该再自主探索几组被开方数不是完全平方数的例子.这里让学生自主用计算器进行探索，小组内每个人提出几组不同的式子来验证，最终我们发现这条性质是普遍的.这个验证的过程是必要的.让学生经历完整的从特殊到一般的过程，养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力. 这里使用计算器进行比较复杂的运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来.教学中应结合具体内容，综合运用笔算、计算器和估算等方式，利用各种途径培养学生的运算能力. 将符号语言用文字语言表述出来： . 设计意图：引导学生说出文字语言，培养找规律，阐述规律的能力，学会用数学的语言表达现实世界. 类比刚刚的思路，观察并计算下列各式，你能得到什么猜想？ . . 你发现了什么？用字母表示你的猜想. 猜想： 根据你的猜想，估计下面两个式子是否相等？借助计算器验证你的猜想.多试几组式子，小组内交流你们的结果. 将符号语言用文字语言表述出来： . 设计意图：跟二次根式第一条性质的探究路径是一样的，教师在这里可以放手交给学生去探究，相信学生能类比“积的算术平方根”的探究活动过程，得到商的算术平方根的性质.这里旨在培养学生猜想和类比的能力.章建跃博士提出教师在日常教学中要注重运用研究套路“类比”进行教学，教会学生研究问题的研究套路“类比”，利用研究套路“类比”提升学生分析问题和解决问题的数学能力.这里要注意引导，因为在分母的位置上，所以，所以. 例1 利用二次根式的性质化简 （1） （2） （3） 设计意图：即学即练.（1）此题用二次根式积的算术平方根的性质.正常运算顺序是先算乘法，再求5184算术平方根，但是求5184的算术平方根是比较困难的，学生由此可以体会到运用二次根式的性质能简化我们的运算；（2）此题用二次根式积的算术平方根的性质.被开方数是积的形式，两个因数中有一个是完全平方数，有一个不是完全平方数.最后化简结果是；（3）此题用二次根式商的算术平方根的性质.这里分母是9，是完全平方数，可以直接化简，结果为. 观察例1的化简结果，前后比较，被开方数有什么变化？（口述） 【任务三】最简二次根式的概念 归纳概念：一般地，被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式. 你能说说化简的最终结果有什么要求吗？ 设计意图：观察例1的化简结果，发现和相比，被开方数不含能开的尽方的因数；和相比，被开方数中不含分母. 引出最简二次根式的概念，提出化简二次根式时，应该满足三点条件：①分母中不含根号；②被开方数不含分母；③被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 例2：化简 （1） （2） （3） 思考：1.你是怎么发现的被开方数含有能开得尽方的因数的？ 2.当被开方数里含有分母时，你是怎么处理的？ 3.当分母含根号时，你是怎么处理的？ 设计意图：这里把教材上的“议一议”的问题分解到三个例题当中.教材的例题设计十分巧妙，三个题从化简二次根式的三个要求出发，帮助学生加深对最简二次根式的理解并掌握化简的一般方法.因此可以看出，教材不只是在知识呈现、概念组织上精心编排，例题习题的选编也需要我们在备课时深入解读. 第一题，是被开方数含能开的尽方的因数的类型.先把50因数分解成，再用积的算术平方根的性质解决.这里要求学生熟记一些常用的完全平方数，这样一来在化简二次根式时将会得心应手. 第二题，是被开方数中含分母的类型.这里的处理方法是利用分数的性质，给被开方数分子分母同时乘以7，使分母化为完全平方数.再利用商的算术平方根的性质化简.最后结果是，而判断它是不是最简二次根式，用化简的三点要求一一对照来看即可. 第三题，是分母里含根号的类型.这里的方法是利用分数的性质，给分子分母同时乘以，可以把分母化成有理数.这个过程叫做分母有理化. 三、本节回顾 四、迁移升华 1.完成学习任务单上的学习评价. 2.完成作业练习. 学科网（北京）股份有限公司 $$