2024-2025学年北师大版数学九年级上册期中复习试卷（第1章～第3章）

2024-2025学年北师大版数学九年级上册期中复习试卷（第1章~第3章） 一、单选题 1．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．明天会下雨 B．在一个只装有黑球的箱子里摸到白球 C．圆内最长的弦是直径 D．掷一枚硬币，正面朝上 2．用配方法解方程时，原方程可变形为(   ) A． B． C． D． 3．如图，将沿翻折得到，连接，则下列结论错误的是（    ） A．如果，那么四边形是菱形 B．如果，那么四边形是菱形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是正方形 4．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 5．在一个不透明的盒子中装有个黑、白两种颜色的球，小明又放入了个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为（    ） A． B． C． D． 6．已知：如图， O是矩形对角线的交点，平分，，（　　）    A． B． C． D． 7．原价为元的某商品经过两次降价后，现售价元，如果每次降价的百分比都为，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 8．根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足(　　) A． B． C． D． 9．如图，P是矩形的边上一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为边上的动点（不与端点重合），连接分别交对角线于点P，Q． 点E，F在运动过程中，始终保持，连接． 下列结论：①；的周长为4；③；④若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AC=12，则AB边上的中线长为 ． 12．如图，菱形中，对角线、相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于 ．    13．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 14．有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为a；不放回，在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下数字为b，则方程有解的概率是 ． 15．设，是的两个实数根，则的值是 ． 16．如图是一张长、宽的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，则的值为 ． 17．如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是 ． 18．如图，在菱形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点G，E是对角线BD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接EF，FG，在点E运动过程中，线段FG长度的最小值是 ． 三、解答题 19．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 20．某班举行冬奥会有奖问答活动，筹备组印制了5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同，如图所示： 问答活动中，答对的同学可以随机抽取卡片作为奖品． (1)问答活动中，小明答对一题，可从5张卡片中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到“滑冰”项目的概率是______； (2)问答活动中，若答对两题，可从5张卡片中任意抽取2张作为奖品（抽取第1张后不放回再抽取第2张），请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张都是“滑雪”项目的概率． 21．某超市销售一种进价为每千克12元的水果.调查发现：当每千克售价为28元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克.超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元？ 22．如图，在矩形中，的垂直平分线分别交，，于，，点，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求． 23．已知关于的方程． 求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； 若方程有两个不同的整数根，且为正整数，求的值． 24．阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值． 25．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是边长为3的正方形，点是射线（除、外）的动点．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ 先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以．（无需证明） 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小亮提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； (2)小颖提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (3)老师提出：连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论（无需证明）．当时，此时的面积为_____． 参考答案： 1．C 2．C 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11．6.5 12．3.5 13． 14． 15． 16． 17．8 18． 19．（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3）解： ，， ∴，； （4）解： ∴，． 20．（1）解：由题意得： 从5张卡片中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到“滑冰”项目的概率是； （2）解：假设越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台分别用字母A、B、C、D、E，则画树状图如下： 由图可知：共20种等可能的结果，其中恰好抽到2张都是“滑雪”项目的有6种， 则恰好抽到2张都是“滑雪”项目的概率是． 21．解：设这种水果的售价为每千克x元， 根据题意，得， 解得， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴（元） 答：这种水果的销售价为每千克19元. 22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO， ∵AC的垂直平分线EF， ∴AO=OC，AC⊥EF， 在△AEO和△CFO中 ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE=OF， ∵O A=OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：设AF=a， ∵四边形AECF是菱形， ∴AF=CF=a， ∵BC=5， ∴BF=5-a， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2， ∴22+（5-a）2=a2， 解得：a=2.9， ∴FC=2.9, ∴BF=5-2.9=2.1． 23．（1）∵△=(3m+1)2－4×3m=9m2－6m+1=(3m－1)2． ∴不论m为任何实数时总有(3m－1)2≥0． ∴不论m为任何实数，方程总有实数根． （2）∵mx2+(3m+1)x+3=0． 解得 x1=－3，x2=． ∵方程mx2+(3m+1)x+3=0有两个不等的整数根，且m为正整数， ∴m=1． 24．（1）解：∵，，且， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，， （2）解： ， ∵，， ∴原式； （3）解：∵ ，且 ， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴． 25．（1）解：小亮的观点正确： 证明：∵正方形， ∴，， 在上取一点，使，连接． ， ， ， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ． （2）小颖的观点正确： 证明：如图示，在的延长线上取一点，使，连接． ， ， 平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， 即， ， ， ． （3）解：或；理由如下： 如图3中，当点在线段上时，结论：．    理由：延长到，使得，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，结论    理由：在上截取，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3中，当点在线段上时， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，设， 同理可得：，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$