河南省三门峡市2024-2025学年九年级上学期期中模拟试卷（一）

河南省三门峡市2024-2025学年九年级学校___________________姓名_______________班级 ________________考号________________________ 上学期期中模拟试卷（一） （满分：120分，考试时间：100分钟） 一、单选题（共30分） 1．下列抛物线不经过原点的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．下列标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 5．如图，在中，，，，将绕O点旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． 或 C． D． 或 6．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为(　　) A．x(x－1)＝90 B．x(x－1)＝2×90 C．x(x－1)＝90÷2 D．x(x＋1)＝90 7．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 8．直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点C在y轴上，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第9题图 第10题图 二、填空题（共15分） 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 12．已知点和点N都在抛物线上，如果轴，则线段的长度为 ． 13．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到的新抛物线是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为 15．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．    第14题图 第15题图 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）解下列方程： (1)； (2)． 17．（本题8分）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为________，________； (2)当时，直接写出的取值范围为________； (3)方程有实数根，的取值范围是________； (4)当时，直接写出的取值范围是________．    18.（本题9分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形． (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 19．（本题9分）若关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 20．（本题10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出100件，市场调查反映； 如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价x元（x为正整数），每星期的利润为y元. （1）求y与x的函数关系式并指出自变量x的取值范围. （2）求每星期的利润y的最大值. （3）直接写出x在什么范围内，每星期的利润不低于5000元. 21．（本题10分）如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为，当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小洛在下图中建立了平面直角坐标系，求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请在图中画出小洛建立的平而直角坐标系； (2)判断排球能否过球网，并说明理由； (3)判断排球是否会出界，并说明理由． 22．（本题10分）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心____点，按顺时针方向旋转___度得到； (3)若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积． 23．（本题11分）如图，已知抛物线经过原点O，且与直线交于B，C两点. (1)求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标； (2)求证：； (3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A B A C C B C 11．且 12．4 13． 14．6 15． 16．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法解一元二次方程，即可得到答案； （2）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案. 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 17．(1)，1 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法，即可求解； （2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可； （3）根据二次函数图象即可求解； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解． 【详解】（1）解： ∴，， 故答案为：，1； （2）解：∵的根为，1， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即：； 故答案为：； （4）解：∵， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点的位置． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点即为旋转中心， ∴， 故答案为：． 19．（1）见解析；（2）或 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，结合偶次方的非负性可得出，进而可证出：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：． ， ，即， 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：，是方程的两个实数根， ，． ， ，即， ， 解得：，， 的值为0或． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的方程． 20．（1）y=(60-30x)(100+20x)=-20x2+500x+3000(1≤x≤30且x为整数)； （2）y最大值=6120； （3）当5≤x≤20且x为整数时，y≥5000. 【详解】试题分析：（1）根据每星期利润等于每件的利润×销售量得到y与x的关系式； （2）把解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案； （3）求出y=5000时，x的值，利用二次函数的性质可得每周利润不低于5000元时x的范围即可得． 试题解析： （1）y=(60-30x)(100+20x)=-20x2+500x+3000(1≤x≤30且x为整数)； （2）y=-20(x-12.5)2+6125 ∵1≤x≤30且x为整数   ∴x=12或13，y最大值=6120； （3）(3)当y=5000时,有−20x2+500x+3000=5000， 解得：x1=5,x2=20， 则5⩽x⩽20且x为正整数时，y⩾5000. 点睛：本题主要考查二次函数的应用以及一元二次方程的应用能力，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键. 21．(1)作图见解析 (2)排球能过球网，理由见解析． (3)排球会出界，理由见解析． 【分析】本题考查了基本作图，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的顶点，作出图像； （2）根据的值，求出对应的值，然后判断，得出答案； （3）根据的值，求出对应的值，然后判断，得出答案． 【详解】（1）抛物线解析式为， 对称轴为轴，顶点为， 建立的平面直角坐标系如图所示： （2）排球能过球网，理由： 当时，， 排球能过球网； （3）排球会出界，理由： 当时，， 排球会出界． 22．(1)见解析；(2)A，90；(3) 34 【分析】（1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得； （2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转得到； （3）先利用勾股定理可计算出，再根据可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到，，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝∠D＝90°， 又∵AB＝AD，DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF(SAS)； （2） ， ， 而， ，即， 可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到． 故答案为A、90； (3)∵BC＝8， ∴AD＝8， 在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝8， ∴AE＝＝2， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴△AEF的面积＝AE2＝×4×17＝34． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 23．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标； （2）由A、B、C的坐标可求得和，由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形； （3）过点P作轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标， 联立抛物线与直线解析式可得，解得或， ∴，； （2）证明：由（1）可知，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （3）解：如图，过点P作轴，交直线BC于点G， 设，则， ∵点P在直线BC上方， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，此时P点坐标为， 即存在满足条件的点P，其坐标为 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、函数图象的交点、勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中联立两函数解析式可求得其交点坐标，在（2）中利用勾股定理分别表示出是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 学科网（北京）股份有限公司 $$