3.1.2椭圆的焦点三角形导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

　3.1.2椭圆中的焦点三角形（学生版） 一.教学目标 1.了解椭圆中焦点三角形的概念，掌握椭圆中的焦点三角形的性质. 2.通过椭圆焦点三角形性质的学习，领会数学中的转化与化归、数形结合思想. 二.基础知识梳理 1.定义：椭圆上的动点与两个焦点构成的三角形叫作焦点三角形 2.椭圆焦点三角形的性质： 性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。 证明： 性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。 证明： 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 证明： 性质四：焦点三角形的周长L＝2a＋2c. 2、 典型例题 类型1　求椭圆的焦点三角形的面积 例1、已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求 (1) (2)的面积 跟踪训练： 1.设分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在C上，若，则的内切圆的面积为 ． 2（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 类型2　与椭圆焦点三角形中内角相关问题 例2、已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形，求椭圆的标准方程 跟踪训练： 1.已知点在焦点为的椭圆上，若，求的值． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则点P的横坐标为 ． 类型3　椭圆焦点三角形中的角平分线问题 例3、已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1．已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ． 三、强化提升 1．已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为 ． 2．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ． 3．椭圆的离心率为，分别为的左､右焦点，若，是上轴上方的两点且，则 . 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，且，（为原点），则 . 5．已知椭圆的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6.已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆E上，. (1)求的面积S； (2)研究的内角的变化规律. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　3.1.2椭圆中的焦点三角形（教师版） 一.教学目标 1.了解椭圆中焦点三角形的概念，掌握椭圆中的焦点三角形的性质. 2.通过椭圆焦点三角形性质的学习，领会数学中的转化与化归、数形结合思想. 二.基础知识梳理 1.定义：椭圆上的动点与两个焦点构成的三角形叫作焦点三角形 2.椭圆焦点三角形的性质： 性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。 证明： 性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。 证明：设,由焦半径公式可知：， 在中， = 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。 性质四：焦点三角形的周长L＝2a＋2c. 2、 典型例题 类型1　求椭圆的焦点三角形的面积 例1、已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求 (1) (2)的面积 【答案】(1)48 (2)24 【详解】（1） 因为椭圆方程为，则， 即，可得， 因为，则 即，所以. （2） 由（1）得， 因为，所以.    跟踪训练： 1.设分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在C上，若，则的内切圆的面积为 ． 【答案】 【详解】不妨设，，则． 在中，由余弦定理得，． 由，且， 可得， 即， 所以， 所以内切圆半径为， 所以的内切圆的面积为． 故答案为： 2（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】BCD 【详解】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，， 解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由， 解得， 又， 即， 整理得：， 即， 即， 又， 解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确. 故选：BCD. 类型2　与椭圆焦点三角形中内角相关问题 例2、已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形，求椭圆的标准方程 【答案】 【分析】由题意，得到关于椭圆参数的方程组，解出即可. 【详解】由题意知：，解得，    所以椭圆的标准方程. 跟踪训练： 1.已知点在焦点为的椭圆上，若，求的值． 【答案】 【详解】   由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得： 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则点P的横坐标为 ． 【答案】2 【详解】由题知，设，，则， 由余弦定理得，即， 所以，又， 所以，所以， 所以，所以， 代入，得，又点P位于第一象限，所以点P的横坐标为2． 故答案为：2. 类型3　椭圆焦点三角形中的角平分线问题 例3、已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：    设，又， 由题意可知，直线的斜率一定存在， 所以，直线，即，则点， 直线，化为一般形式得， 因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 于是，化简得， 即， 又点在椭圆上，所以，得， 因此，，即， 解得或，点在第一象限，所以，， 则点， 所以. 故选：C. 跟踪训练： 1．已知为椭圆上的点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为的平分线交线段于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的平分线交线段于点，所以， 由正弦定理得，. 又因为， 所以，即. 不妨设，则， 则，解得， 所以. 故选：A. 2．如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ． 【答案】2 【详解】由题意，延长交于，连接，如下图： 因为为的角平分线且，所以， 则，即， 在中，易知分别为的中点，即为中位线， 所以. 故答案为：. 三、强化提升 1．已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由于，所以，，故，设，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为，则，即， 由余弦定理得：，整理可得， 所以的面积，故的内切圆半径， 所以，因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为． 2．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ． 【答案】/ 【详解】 由椭圆方程得：，，，； 设，由椭圆定义知：， ，，即， 解得：或； 为椭圆在第一象限内的点，，即，，； . 故答案为：. 3．椭圆的离心率为，分别为的左､右焦点，若，是上轴上方的两点且，则 . 【答案】3 【详解】，解得，故椭圆，， 连接，如图所示： 则，，解得， 则，， 故，即， 解得，故. 故答案为： 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，且，（为原点），则 . 【答案】 【详解】由椭圆方程可知，，，，则，， ， 设，，有， 中，由余弦定理，有， 即，得，有， 由，解得：， 则点M为椭圆的上顶点或下顶点，有. 故答案为： 5．已知椭圆的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，以为直径的圆与椭圆有交点， 以为直径的圆的方程为，与联立得 ， 故，即，即， ，， 故选：B 6.已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆E上，. (1)求的面积S； (2)研究的内角的变化规律. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）如图所示，，设，，则，    在中，由余弦定理得 ，即. 所以. （2）方法一：在中运用余弦定理，则有， 由于，且， 所以， 当且仅当，即P为椭圆与y轴交点时取等号，此时最小，取得最大值. 方法二：利用（1）中结论探讨，因为为的内角，所以，即. 如图，令点P按顺时针方向由点A向点B运动， 则的边不变，但边上的高逐渐增大，故S逐渐变大， 从而逐渐变大，由可知，也逐渐变大． 由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，也越大，当点P与点B重合时，达到最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$