江苏省2024-2025学年九年级中考数学一轮复习习题课件：第3章函数

第1节　平面直角坐标系与函数 1. 在平面直角坐标系中，点（－1，2）在（　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 2. （2024常州天宁模拟）点A（－3，－4）关于y轴对称的点的坐标为 （　A　） A. （3，－4） B. （－3，4） C. （3，4） D. （－4，3） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 3. （2024宿迁泗阳二模）如果点P（m，1＋2m）在第三象限，那么m的 取值范围是（　D　） A. － ＜m＜0 B. m＞－ C. m＜0 D. m＜－ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 4. （2024常州模拟）点A（5，3）经过某种图形变化后得到点B（－3， 5），这种图形变化可能是（　C　） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 绕原点逆时针旋转90° D. 绕原点顺时针旋转90° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 5. （2024泰州海陵一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（　C　） 6. 直角三角形两锐角的度数分别为x，y，其关系式为y＝90－x，其中变 量为 ，常量为 ⁠. 7. （2024淮安模拟）在平面直角坐标系xOy中，作点P（1，－1）关于x轴 的对称点P1，再将点P1向右平移3个单位，得到点P2，则点P2的坐标 为 ⁠. C x，y　 －1，90　 （4，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 8. （2024常州一模）与点P（2，－3）关于直线x＝1对称的点的坐标 是 ⁠. 9. （2024南京玄武校级模拟）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ⁠ ⁠. 10. 汽车油箱内有油40 L，每行驶100 km耗油10 L，则行驶过程中油箱内剩 余油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为 ⁠ ，自变量s的取值范围是 ⁠. （0，－3）　 x≥ －2且x≠1　 Q＝40－0.1s　 0≤s≤400　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 11. （2024盐城滨海一模）已知在平面直角坐标系中，与点A（m－3，1－m） 关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是 ⁠. 12. 周日，小明从家步行到图书馆查阅资料，查完资料后，小明立刻按原路 回家.已知回家时的速度是去图书馆时速度的1.5倍，在整个过程中，小明 离家的距离s（m）与他所用的时间t（min）之间的关系如图所示，则小明 在图书馆查阅资料的时间为 min. 1＜m＜3　 35　 第12题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 13. （2024南京建邺一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，3）绕 点P逆时针旋转90°得到点B（3，1），则点P的坐标为 ⁠. 第13题图 ， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 14. （2024苏州吴江二模）已知点P（2a－2，a＋5），回答下列问题： （1）若点P在y轴上，求出点P的坐标； 解析：（1）∵点P在y轴上，∴2a－2＝0，解得a＝1， ∴a＋5＝6，∴P（0，6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2 024＋2 024 的值. 解析：（2）∵点P到x轴、y轴距离相等， ∴｜2a－2｜＝｜a＋5｜， ∵P在第二象限，∴2a－2＜0，a＋5＞0， ∴｜2a－2｜＝2－2a，｜a＋5｜＝a＋5， ∴2－2a＝a＋5，解得a＝－1， ∴a2 024＋2 024＝（－1）2 024＋2 024＝2 025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 15. （2024连云港连云二模）在平面直角坐标系中，点M（m－2，m＋1） 不可能在（　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 16. （2024宿迁沭阳一模）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将 线段AB平移至CD，其中点C（－2，1），D（a，n），则a－m＋n的 值为（　C　） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 17. （2024盐城建湖二模）若A（－4，m－3），B（－3，m），C（3， m）三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（　B　） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 18. （2024南京玄武校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ 5，BC＝ ，点D在折线ACB上运动，过点D作AB的垂线，垂足为E. 设AE＝x，S△ADE＝y，则y关于x的函数图像大致是（　A　） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 19. （2024南京江宁三模）如图，已知△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…， △A3n－2A3n－1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2， 4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三 角形的中心，则点A2 024的坐标为 ⁠. （675，－ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 20. 已知实数x，y满足2x＋3y＝1. （1）用含有x的代数式表示y； 解析：（1）2x＋3y＝1，3y＝1－2x，y＝ . （2）若实数y满足y＞1，求x的取值范围； 解析：（2）由（1）及已知，得 ＞1，解得x＜－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 解析：（3）由题意得 ①＋②得4x＝1＋k，解得x＝ ， ①－②得6y＝1－k，解得y＝ ， ∴原方程组的解为 ∵x＞－1，y≥－ ， ∴解得－5＜k≤3. （3）若实数x，y满足x＞－1，y≥－ 且2x－3y＝k，求k的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第1节　平面直角坐标系与函数 $$第2节　一次函数 1. （2024扬州宝应二模）一次函数y＝x＋b（b＜0）的图像不经过 （　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2. （2024徐州二模）若函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于x的不等式kx－2b＞0的解集为（　C　） C A. x＜3 B. x＞3 C. x＜6 D. x＞6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3. （2024苏州工业园区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y ＝－2x＋b的图像上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定成立的是（　D　） A. y1＋y2＜0 B. y1＋y2＞0 C. y1＜y2 D. y1＞y2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4. （2024无锡一模）下列四个选项中，不符合直线y＝x－3的性质与特征 的是（　C　） A. 经过第一、三、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 与x轴交于点（－3，0） D. 与y轴交于点（0，－3） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. （2024苏州吴江二模）如果将直线y＝－ x＋2沿x轴向左平移4个单 位，那么所得直线的函数表达式是 ⁠. 6. （2024南京鼓楼二模）若一次函数y＝x＋1与y＝－x－1交于点A，则 点A的坐标为 ⁠. y＝－ x　 （－1，0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. （2024扬州宝应一模）若关于x，y的二元一次方程组的 解是则一次函数y＝3x＋1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图像的 交点坐标是 ⁠. 8. （2024扬州广陵一模）若点（－1，y1），（3，y2）都在一次函数y＝ （k＋2）x＋1的图像上，且y1＞y2，则实数k的取值范围是 ⁠. （1，4）　 k＜－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9. （2024苏州昆山模拟）已知一次函数y＝2x＋3，则该函数图像关于直 线y＝x对称图像的函数表达式为 ⁠. 10. （2024无锡二模）一次函数y＝kx＋b的图像经过点（1，1），当x＝2 时，5＜y＜9，则k的值可以是 .（写出一个即可） y＝ x－ 　 6（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11. （2023苏州工业园区校级二模）已知y与x＋m（m为常数）成正比 例，且当x＝3时，y＝5，当x＝1时，y＝1. （1）求y关于x的函数表达式； 解析：（1）设y＝k（x＋m），k≠0， ∵当x＝3时，y＝5，当x＝1时，y＝1， ∴解得 ∴y＝2（x－ ）＝2x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）若点P（a，b）在（1）中函数的图像上，求4a2－b2－2b－3的值. 解析：（2）∵点P（a，b）在（1）中函数的图像上， ∴2a－1＝b，∴2a＝1＋b， ∴4a2－b2－2b－3＝（1＋b）2－b2－2b－3＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12. 已知一次函数y1＝kx－2（k为常数，k≠0）和y2＝－x＋3. （1）若函数y1＝kx－2的图像经过点（2，2），求k的值； 解析：（1）由已知得2＝2k－2，解得k＝2. （2）在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围； 解析：（2）∵y1＜y2，∴2x－2＜－x＋3，解得x＜ . （3）当x＞1时，y1＜y2.结合图像，直接写出k的取值范围. 解析：（3）如图，由图像可知，当x＞1时，y1＜y2，k的取值 范围是k≤－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13. （2024扬州江都二模）如图，直线y＝kx＋4分别交坐标轴于点C， D，x轴上一点A关于直线CD的对称点A'的坐标为（ ，4），则k的值为 （　C　） A. － B. －2 C. － D. － 第13题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14. （2024南通期中）如图，直线y＝ x＋2分别交x轴、y轴于A，B两 点，C是线段OA上一点，∠ABC＝45°，则点C的坐标为 ⁠⁠. 第14题图 （－ ， 0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15. （2024苏州模拟）如图，直线y＝－ x＋b与x轴、y轴分别交于A， B两点，点A的坐标为（6，0）.在x轴的负半轴上有一点C（－4，0）， 直线AB上有一点D，且CD＝OD. （1）求b的值及点D的坐标； 解析：（1）将A（6，0）代入y＝－ x＋b，得b＝3， ∴直线AB的函数表达式为y＝－ x＋3， ∵CD＝OD，点C的坐标为（－4，0）， ∴点D的横坐标为－2， 将x＝－2代入y＝－ x＋3，得y＝4， ∴点D的坐标为（－2，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对 称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围. 解析：（2）∵点P所在线段的函数表达式为y＝－ x＋3（0≤x≤6）， 点P关于y轴的对称点为点Q， ∴点Q所在线段的函数表达式为y＝ x＋3（－6≤x≤0）. 设CD所在直线的函数表达式为y＝kx＋d，将C（－4，0）， D（－2，4）代入表达式，得k＝2，d＝8，即y＝2x＋8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 设OD所在直线的函数表达式为y＝mx，将D（－2，4）代 入，得m＝－2，即y＝－2x. 由解得 由解得 ∵点Q的横坐标为－a， ∴－ ＜－a＜－ ，解得 ＜a＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. 如图，直线AB：y＝ x＋ 与坐标轴分别交于A，B两点，点C与点A 关于y轴对称，CD⊥x轴与直线AB交于点D. （1）求点A和点B的坐标； 解析：（1）对于y＝ x＋ ， 令x＝0，得y＝ ，令y＝0，解得x＝－2， 故点A，B的坐标分别为（－2，0），（0， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为 时，求出点P的坐标； 解析：（2）如图，设AP交y轴于点H， ∵点A（－2，0），点A与点C关于y轴对称， ∴C（2，0），∵CD⊥x轴，∴点P的横坐标为2， 设直线AP的函数表达式为y＝k（x＋2）， 当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k， 即点H，P的坐标分别为（0，2k），（2，4k）， 则S△ABP＝S△HBP＋S△HBA＝ ·AC·BH＝ ×4×（ －2k）＝ ， 解得k＝－ ，∴点P的坐标为（2，－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ 是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标. 解析：（3）由题意设Q（2，t），∵P（2，－ ），A（－2，0）， ∴AP2＝（2＋2）2＋（ ）2＝16＋ ，PQ2＝（t＋ ）2，AQ2＝16＋t2， 当AP＝PQ时，16＋ ＝（t＋ ）2， 解得t＝ 或t＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 故点Q的坐标为（2， ）或（2， ）； 当AP＝AQ时，16＋ ＝16＋t2， 解得t＝ （负值舍去），故点Q的坐标为（2， ）. 综上所述，点Q的坐标为（2， ）或（2， ）或（2， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17. （2024常州一模）如图1，底面积为30 cm2的空圆柱容器内水平放置着 由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在 注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图2，若 “几何体”下方圆柱的底面积为15 cm2，则“几何体”上方圆柱的底面积为 （　A　） A. 24 cm2 B. 12 cm2 C. 18 cm2 D. 21 cm2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$第3节　一次函数的实际应用 1. （2024扬州江都一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具.据史书 记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是古代中国人民对函数思想的创造 性应用.李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中 发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是李明记录的部分数 据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为（　C　） C A. 1.8 B. 2.6 C. 4.2 D. 5.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. （2024扬州仪征一模）如图是某网约车平台收费y（元）与所行驶的路 程x（km）的函数关系，小明乘坐该网约车平台的网约车从家去机场，共 支付64元，若车速始终保持60 km/h，不考虑其他因素（红绿灯、堵车 等），他从家到机场用时（　D　） A. 10 min B. 15 min C. 18 min D. 20 min D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. （2024扬州高邮二模）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度y（cm） 与所挂物体质量x（kg）满足一次函数y＝0.5x＋12.若在该弹簧秤上挂物 体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度长2.5 cm，则物体A比B 重 kg. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. （2024苏州昆山一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀 速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（m）与注水时间x（h）之间 的函数图像如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间 为 h. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. （2024淮安市淮安区二模）某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两 种规格的书柜，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，则共需要 资金1 380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，则共需资金1 440元. （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ 解析：（1）设甲、乙两种书柜每个的价格分别是x元、y元， 由题意得解得 答：每个甲种书柜的价格为180元，每个乙种书柜的价格为240元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：（2）设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜（24－m）个，花费资金为w元， 由题意得24－m≥m，解得m≤12， w＝180m＋240（24－m）＝－60m＋5 760， ∵－60＜0，∴w随m的增大而减小， ∵0≤m≤12， ∴当m＝12时，w取最小值，wmin＝－60×12＋5 760＝5 040， 此时24－m＝24－12＝12. 答：购买甲种书柜12个，乙种书柜12个时，花费资金最少，最少资金为5 040元. （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量 不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买，花费资金最少？最少 资金是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. （2024南通崇川期中）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商 品.“五一”期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售， 乙商场对一次购物中，不超过200元的部分按原价出售，超过200元的部分 打7折. （1）用x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物所付金 额，分别就两家商场的让利方式求出y关于x的函数表达式，并画出大致 图像； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：（1）对于甲商场，有y＝0.8x（x≥0）， 对于乙商场，当0≤x≤200时，y＝x； 当x＞200时，y＝200＋0.7（x－200），即y＝0.7x＋60. 大致图像如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）请结合图像直接回答：“五一”期间选择去哪家商场购物更省钱？ 解析：（2）由图像可知， 当x＜600时，选择去甲商场购物更省钱； 当x＝600时，选择去甲、乙商场购物所付金额相同； 当x＞600时，选择去乙商场去购物更省钱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. （2024徐州丰县一模）甲、乙两地相距540 km，一列快车从甲地匀速开 往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离s （km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图像如图，则慢车的速度 是（　D　） A. 100 km/h B. 120 km/h C. 80 km/h D. 60 km/h D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. （2024南京模拟）A，B两地相距120 km，一辆快车和一辆慢车分别从 A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶.快车到达B地后立即按 原路原速返回，慢车到达A地后停止.快、慢两车离A地的距离y1，y2（单 位： km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示. （1）补全y1与x之间的函数图像； 解析：（1）∵快车到达B地后立即按原路原速返回， ∴快车返回A地时，x＝ ＋ ＝ . 补全y1与x之间的函数图像如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）若慢车的速度为30 km/h. ①点P的坐标为 ⁠； ②快车到达A地前，两车何时相距30 km？ 解析：（2）①快车速度为120÷ ＝90（km/h）， ∵120÷（90＋30）＝1（h）， ∴两车出发1 h相遇，相遇处距A地1×90＝90（km）， ∴点P的坐标为（1，90）. （1，90）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②根据题意得y2＝120－30x， 当0≤x≤ 时，y1＝90x， ∵两车相距30 km，∴｜120－30x－90x｜＝30， 解得x＝ 或x＝ ； 当 ＜x≤ 时，y1＝120－90（x－ ）＝－90x＋240， ∵两车相距30 km， ∴｜120－30x－（－90x＋240）｜＝30， 解得x＝ 或x＝ . 综上所述，两车出发 h， h， h或 h时，两车相距30 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3）若慢车在快车返回A地后的0.5 h内到达，则慢车速度v的取值范围 是 ⁠. 解析：（3）∵120÷ ＝45（km/h），120÷（ ＋0.5）＝ （km/h）， ∴ ＜v＜45. ＜v＜45　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （2024泰州海陵一模）学校图书馆计划购进A，B两种图书共计200本， 其中A种图书m本（m为整数），且A种图书的数量不超过B种图书的 .据 调查，A，B两种图书的原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方 式：购买A种图书的单价y1（元/本）关于购买数量x的函数表达式为y1＝－ x＋15（0≤x≤64且x为整数），若购买数量超过64本，则所购全部A种图 书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价y2（元/本）关于购 买数量x的函数表达式为y2＝－ x＋20（0≤x≤100且x为整数），若购 买数量超过100本，则所购全部B种图书的单价与购买100本时的单价相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）若购买B种图书100本，则单价为 元/本； 解析：（1）当x＝100时，y2＝－ ×100＋20＝10， ∴购买B种图书100本时，单价为10元/本. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）求m的取值范围； 解析：（2）∵学校图书馆计划购进A，B两种图书共计200本，其中A种图书m本 （m为整数）， ∴计划购进B种图书（200－m）本. 根据题意得m≤ （200－m），解得m≤50， 又∵m≥0，∴0≤m≤50， 即m的取值范围为0≤m≤50且m为整数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3）设图书馆购进A，B两种图书共支出w元，则m为多少时，支出费用最 低？最低费用为多少？ 解析：（3）∵0≤m≤50，∴150≤200－m≤200， ∴购买B种图书的单价为10元/本. 根据题意得w＝（－ m＋15）m＋10（200－m）＝－ m2＋5m＋2 000＝ － （m－20）2＋2 050，∵－ ＜0， ∴当0≤m≤20时，w随m的增大而增大，当20≤m≤50时，w随m的增大 而减小， 当m＝0时，w＝－ ×（0－20）2＋2 050＝2 000； 当m＝50时，w＝－ ×（50－20）2＋2 050＝1 937.5. ∵2 000＞1 937.5，∴m＝50时，支出费用最低，最低费用为1 937.5元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. （2024徐州丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），B （5，2），点C在x轴上运动，点D在直线y＝x上运动，则四边形ABCD 周长的最小值是 ⁠. 2 ＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 谢谢 传而习之 练就卓越 $$第4节　反比例函数 1. （2024徐州铜山模拟）已知反比例函数y＝ ，则下列表述不正确的是 （　D　） A. 图像位于第一、三象限 B. 图像必经过点（4， ） C. 图像不可能与坐标轴相交 D. y随x的增大而减小 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. （2024南通模拟）如图，一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图像与反比例 函数y2＝ （m为常数且m≠0）的图像都经过A（－1，2），B（2，－1），结合图像，可知不等式kx＞ －b的解集是（　C　） A. x＜－1 B. －1＜x＜0 C. x＜－1或0＜x＜2 D. －1＜x＜0或x＞2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. （2024无锡滨湖模拟）反比例函数y＝ （k≠0）的图像经过（－2， 3）、（4，a）两点，则a＝ ⁠. － 　 4. （2024常州一模）已知反比例函数y＝ ，当x＞0时，y随x的增大而 减小，则m的取值范围是 ⁠. m＞5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. （2024南京建邺一模）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体 体积V（m3）成反比例函数关系，其图像如图所示.当气球内的气压大于 120 kPa时，气球会爆炸.为了安全，气球内气体体积V应满足 ⁠. V≥ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. （2024苏州姑苏一模）如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴 上，点C的坐标为（3，4），反比例函数y＝ （x＞0）的图像经过点C， 且与边AB交于点D. （1）求k的值及点B的坐标； 解析：（1）∵点C的坐标为（3，4）， 反比例函数y＝ （x＞0）的图像经 过点C，∴k＝12，OC＝5， ∵四边形OABC为菱形， ∴OA＝BC＝OC＝5，BC∥OA，∴B（8，4），A（5，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）判断点D是不是边AB的中点，并说明理由. 解析：（2）由（1）可知，反比例函数的表达式为y＝ ， ∵A（5，0），B（8，4）， ∴线段AB的中点坐标为（ ，2）， 对于y＝ ，当x＝ 时，y＝ ＝ ≠2， ∴点D不是边AB的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （2024常州金坛二模）如图，一次函数y＝mx＋n的图像与y轴负半轴 交于点A，与反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图像交于点B（3，2）. （1）求反比例函数的表达式； 解析：（1）∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0） 的图像过点B（3，2），∴2＝ ，∴k＝6， ∴反比例函数的表达式是y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）连接OB，当△OAB的面积为3时，求一次函数的表达式. 解析：（2）如图，过点B作BH⊥y轴于点H， 则BH＝3.∵S△OAB＝3，∴ OA·BH＝3， ∴OA＝2，∴A（0，－2）， 把点A，B的坐标代入y＝mx＋n，得 解这个方程组，得 ∴一次函数的表达式是y＝ x－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. （2024南京江宁校级三模）如图，直线y＝－ x＋6分别交y轴、x轴于 点A，B，交反比例函数y＝ （x＞0）于点M，N，若MN＝AM＋ BN，则k的值为（　C　） A. 6 B. C. 9 D. 12 第8题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. （2024无锡宜兴二模）如图，△OAB的边OA在y轴负半轴上，反比例函 数y＝ （x＞0）的图像经过点B，与边AB交于点C，若BC＝3AC， S△AOB＝10，则k的值为 ⁠. 第9题图 －4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （2024淮安市淮安区二模）如图，一次函数y＝kx＋b的图像与反比例 函数y＝ （x＞0）的图像交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4， 0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC. （1）求一次函数、反比例函数的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（－4，0）， ∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4， ∴P（4，2），B（4，0）， 将A（－4，0）与P（4，2）代入y＝kx＋b， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝ x＋1， 将P（4，2）代入y＝ ，得m＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）根据图像直接写出kx＋b＜ 时x的取值范围； 解析：（2）观察图像可知，kx＋b＜ 时，x的取值范 围是0＜x＜4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：（3）存在，求解过程如下： 如图所示，连接BD，CD，PD， ∵点C（0，1），B（4，0），P（4，2）， ∴BC＝ ＝ ，PC＝ ， ∵四边形BCPD为菱形，∴PB垂直且平分CD， ∵PB⊥x轴，P（4，2），∴点D的坐标为（8，1）， 对于y＝ ，当x＝8时，y＝1， ∴点D在反比例函数的图像上. （3）反比例函数图像上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存 在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （2024苏州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋b经过点 A（－6，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝ （x＞0）的图像交于 点C，连接OC，且S△AOB＝2S△BOC. （1）求b，k的值； 解析：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵直线y＝ x＋b经过点A（－6，0）， ∴0＝ ×（－6）＋b，解得b＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵直线y＝ x＋4与y轴交于点B，∴B（0，4）， ∴OA＝6，OB＝4， ∵S△AOB＝2S△BOC，∴AB＝2BC，∴ ＝ ， ∵CE∥OB，∴△AOB∽△AEC， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴CE＝6，AE＝9，∴OE＝9－6＝3，∴C（3，6）， ∵反比例函数y＝ （x＞0）的图像过点C， ∴k＝3×6＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）若点D为反比例函数y＝ （x＞0）图像上一点，连接CD，使得 CD⊥OC，求点D的坐标. 解析：（2）过点F作DF⊥CE于点F， 由（1）可知，反比例函数的表达式为y＝ ，C（3，6）， 设D（m， ），则CF＝6－ ，DF＝m－3， ∵CD⊥OC，∴∠OCE＋∠DCF＝90°， ∵∠OCE＋∠COE＝90°，∴∠DCF＝∠COE， ∵∠CEO＝∠DFC＝90°，∴△CEO∽△DFC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 整理得m2－15m＋36＝0，解得m＝12或m＝3（舍去）， ∴ ＝ ＝ ，∴D（12， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. （2024南京鼓楼二模）已知A，B两地间有C地，客车由A地驶向C地， 货车由B地经过C地去A地（客、货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两 车同时出发，匀速行驶，货车的速度是客车速度的 .如图是客车、货车和C 地的距离y1（km），y2（km）与行驶时间x（h）的函数关系图像. （1）货车的速度为 ，A，B两地间的距离为 ⁠； 60 km/h　 840 km　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：（1）由图像可得， 客车的速度为720÷9＝80（km/h）， 则货车的速度为80× ＝60（km/h）， A，B两地间的距离为60×2＋720＝840（km）. 故答案为60 km/h，840 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）求y1与x的函数关系式，并直接写出y2与x的函数关系式； 解析：（2）设y1与x的函数关系式是y1＝kx＋b， ∴解得 ∴y1与x的函数关系式是y1＝－80x＋720. 当0≤x≤2时，设y2＝ax＋c， ∵货车的速度为60 km/h，60×2＝120（km）， ∴该函数图像过点（0，120），（2，0）， ∴解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴当0≤x≤2时，y2＝－60x＋120； ∵720÷60＝12（h）， ∴当货车由C地驶向A地时，2≤x≤14. 当2≤x≤14时，设y2＝mx＋n， ∵点（2，0），（14，720）在该函数图像上， ∴解得 ∴当2≤x≤14时，y2＝60x－120. 综上，y2＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）出发后经过 h，两车间距离是70 km. 5.5或6.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）当两车相遇前相距70 km时， （－80x＋720）－（60x－120）＝70，解得x＝5.5； 当两车相遇后相距70 km时显然客车未到C地， （60x－120）－（－80x＋720）＝70，解得x＝6.5， 综上所述，出发后经过5.5 h或6.5 h，两车相距70 km. 故答案为5.5或6.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第5节　二次函数（1） 1. （2024徐州沛县模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上部分点的坐标 如下表，下列说法错误的是（　B　） A. 对称轴是直线x＝－2 B. 当x＝－4时，y＝－11 C. 当x＞－2时，y随x的增大而减小 D. 抛物线开口向下 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. （2024宿迁沭阳模拟）已知抛物线y＝ax2－2ax＋b（a＞0）上的三个 点的坐标分别为A（3，y1），B（2，y2），C（－2，y3），则y1，y2， y3的大小关系为（　B　） A. y3＜y1＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y3＜y2 D. y1＜y2＜y3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. （2024连云港海州二模）在平面直角坐标系中，点D（n，y1），E （3，y2）在抛物线y＝－x2＋2x上，若y1＞y2，则n的取值范围是 （　D　） A. n＞3或n＜－1 B. n＞3 C. n＜－1 D. －1＜n＜3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. （2024徐州丰县一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋4x－3 的图像沿x轴向左平移1个单位长度后，交y轴于点C，则点C的坐标 是 ⁠. 5. （2024常州天宁模拟）二次函数y＝a（x－1）2＋h的图像经过点A （0，4），B（m，4），则m＝ ⁠. 6. （2024常州模拟）若抛物线y＝x2－3x＋ax＋2的对称轴是y轴，则a的 值是 ⁠. 7. （2024宿迁沭阳模拟）已知二次函数y＝－x2＋2mx＋1，当x＞4时，y 随x的增大而减小，则m的取值范围是 ⁠. （0，0）　 2　 3　 m≤4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. （2024南京模拟）在平面直角坐标系中，点A（－2，3），B（m， y1），C（m＋2，y2）都在函数y＝ax2＋bx＋3（a＞0）的图像上. （1）求该图像的对称轴； 解析：（1）对于y＝ax2＋bx＋3，令x＝0，则y＝3， ∴函数图像过点（0，3）. ∵点A（－2，3）在函数y＝ax2＋bx＋3的图像上， ∴点（0，3）和点A（－2，3）是函数图像上的对称点. ∴对称轴为直线x＝ ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）比较y1，y2的大小，并说明理由. 解析：（2）∵对称轴为直线x＝－ ＝－1， ∴b＝2a，∴y＝ax2＋bx＋3＝ax2＋2ax＋3， ∴y2－y1＝4a（m＋2）. ∵a＞0， ∴当m＜－2时，y1＞y2； 当m＝－2时，y1＝y2； 当m＞－2时，y1＜y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. （2024宿迁宿城模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与 抛物线y＝x2＋bx＋4交于点M和点N（n，1），点M在y轴上. （1）求n和b的值； 解析：（1）把N（n，1）代入y＝－x＋4， 得1＝－n＋4，解得n＝3，∴N（3，1）， ∵抛物线y＝x2＋bx＋4过点N（3，1）， ∴1＝9＋3b＋4，解得b＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN， 求△AMN的面积的最大值. 解析：（2）由（1）得，抛物线的函数表达式为 y＝x2－4x＋4，∴M（0，4）， 设A（m，m2－4m＋4），过点A作AT∥y轴， 交直线MN于点T，如图所示：则T（m，－m＋4）， ∴AT＝－m＋4－（m2－4m＋4）＝－m2＋3m， ∴S△AMN＝S△AMT＋S△ANT＝ AT·（xN－xM）＝ × （－m2＋3m）×（3－0）＝－ （m－ ）2＋ ， ∵－ ＜0，∴当m＝ 时，S△AMN取得最大值，为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. （2024泰州姜堰二模）二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0，h，k为 常数）的图像开口向下，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，则h的值可 能为（　D　） A. 2 B. 3 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. （2024无锡梁溪模拟）已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴正半轴交于 A，B两点，且均在点（1，0）左侧，当x＝0时，y＝a；当x＝2时，y＝ d，则ad的值可能为（　A　） A. B. 1 C. D. 2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. （2024淮安淮阴一模）点P（m，5）在抛物线C：y＝－（x－3）2＋ 6上，将抛物线C进行平移得抛物线C'：y＝－x2＋2，点P的对应点为点 P'，则线段PP'的长为（　C　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. （2024无锡梁溪二模）已知抛物线y＝（x－a）（x＋2a－1）的对称 轴是直线x＝－2，则a的值为 ⁠. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. （2024徐州仪征一模）已知抛物线y＝x2＋bx. （1）若点（2，y1）在此抛物线上，则当b＜－1时，试说明y1＜2； 解析：（1）∵点（2，y1）在抛物线y＝x2＋bx上， ∴y1＝4＋2b. ∵b＜－1，∴4＋2b＜2，∴y1＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）当－1≤x≤4时，y的最小值是－2，求b的值. 解析：（2）由题意得，该抛物线的对称轴为直线x＝－ ，且开口向上， ①若－ ≤－1，即b≥2，则x＝－1时，y有最小值， 即1－b＝－2，解得b＝3； ②若－ ≥4，即b≤－8，则x＝4时，y有最小值， 即16＋4b＝－2，解得b＝－ （舍去）； ③若－1＜－ ＜4，即－8＜b＜2， 则x＝－ 时，y有最小值， 即 － ＝－2，解得b＝－2 或b＝2 （舍去）， 综上所述，b的值为3或－2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. （2024徐州二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2－2x ＋3的图像与x轴分别交于点A，C（点A在点C左侧）与y轴交于点B，顶 点为D. （1）点A坐标为 ，点D坐标为 ⁠； 解析：（1）在y＝－x2－2x＋3中， 令y＝0，得0＝－x2－2x＋3， （－3，0）　 （－1，4）　 解得x＝1或x＝－3，∴A（－3，0），C（1，0）， ∵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4， ∴抛物线的顶点D的坐标为（－1，4）. 故答案为（－3，0），（－1，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）P为线段AD上方抛物线上一点，直线BP交AD于点E，交x轴于点 F，若S△DBE＝S△AEF，求点P的坐标； 解析：（2）连接DO，如图1： 由（1）知，A（－3，0），C（1，0），D（－1，4）， 在y＝－x2－2x＋3中，令x＝0，得y＝3，∴B（0，3）， ∴S四边形AOBD＝S△AOD＋S△BOD＝ ×3×4＋ ×3×1＝ ， ∵S△DBE＝S△AEF，∴S△DBE＋S四边形EAOB＝S△AEF＋S四边形EAOB， 即S四边形AOBD＝S△BOF，∴S△BOF＝ ， ∴ OF×3＝ ，∴OF＝5，∴F（－5，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由B（0，3），F（－5，0），得直线BF的函数表达式为y ＝ x＋3， 由 解得或 ∴P（－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （3）M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以点B，C， M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个. 4　 解析：（3）①若BC，BM为邻边，则以点B为圆心， BC的长为半径作圆，与抛物线对称轴直线x＝－1有交点M1，M2，如图2： 可作菱形BM1N1C，易知M2与BC共线， 则以B，C，M2，N为顶点不能作菱形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②若CB，CM为邻边，则以点C为圆心，CB的长为半径作圆，与抛物线 对称轴直线x＝－1有交点M3，M4，如图3： 可作菱形CM3N3B和菱形CM4N4B； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ③若MB，MC为邻边，则作BC的垂直平分线，与抛物线对称轴直线x＝－ 1有交点M5，如图4： 可作菱形CM5BN5. 综上所述，以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形，则符合题意的点 N共有4个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. （2024无锡滨湖二模）已知点A（1，2），B（ ，2）分别在反比例函 数y＝ 和y＝ 的图像上，四边形ABCO为平行四边形.将▱ABCO沿y轴 向上平移，使点C落在反比例函数y＝ 的图像上的D点，则两个平行四边 形重叠部分的面积为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$第6节　二次函数（2） 1. （2024泰州靖江一模）二次函数y＝ax2＋bx－c的图像如图所示，则下 列说法正确的是（　B　） A. a＞0，b＞0，c＞0 B. a＞0，b＜0，c＞0 C. a＞0，b＞0，c＜0 D. a＞0，b＜0，c＜0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. （2024南京鼓楼一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2－4的图 像沿直线x＝2翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，则另一个二次 函数的表达式为（　C　） A. y＝x2＋4 B. y＝x2－6x＋8 C. y＝x2－8x＋12 D. y＝－x2－4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. （2024宿迁宿豫二模）对于任意实数m，抛物线y＝x2＋mx＋2m－n 与x轴都有公共点，则n的取值范围是 ⁠. 4. （2024宿迁沭阳模拟）若抛物线y＝x2－ x＋ cos α与x轴只有1个公共 点，则锐角α＝ 度. 5. （2024扬州邗江一模）已知点A（0，0.3），B（ ，1），C（2， 0.3）在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像上，则方程ax2＋bx－ 0.7＝0的解为 ⁠. n≥4　 60　 x1＝ ，x2＝2－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. （2024淮安淮阴校级模拟）二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图像如图 所示，则y＞0的解集是 ⁠. －1＜x＜9　 第6题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. （2024宿迁沭阳县一模）如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交 于A（－2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2＋c＜mx＋n的解集 是 ⁠. 第7题图 －2＜x＜4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. （2024南京玄武一模）已知二次函数y＝－x2＋2（m－4）x＋m2－1 （m是常数）. （1）求证：无论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； 证明：（1）∵Δ＝4（m－4）2－4×（－1）·（m2－1）＝8m2－32m＋60 ＝8（m－2）2＋28，而8（m－2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴无论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）求证：当－1＜m＜1时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方. 证明：（2）当x＝0时，y＝m2－1， ∴二次函数图像与y轴的交点坐标为（0，m2－1）， ∵－1＜m＜1，∴m2－1＜0， ∴二次函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴上， 即当－1＜m＜1时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. （2024苏州昆山模拟）如图，已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋4与x轴交 于A（－1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线L的函数表达式； 解析：（1）将A（－1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx ＋4， 得解得 ∴抛物线L的函数表达式为y＝－x2＋3x＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若抛物线L关于原点对称的抛物线为L'，求抛物线L'的函数表达式； 解析：（2）∵抛物线L'与L关于原点对称， 且将y＝－x2＋3x＋4中的x，y换成－x，－y， 得－y＝－（－x）2＋3（－x）＋4，即y＝x2＋3x－4， ∴抛物线L'的函数表达式为y＝x2＋3x－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：（3）存在，理由如下： 易知C点坐标为（0，4）， ∵A（－1，0），B（4，0），C（0，4）， ∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×5×4＝10， ∵S△ABC＝2S△ABP，∴S△ABP＝5， 设点P坐标为（m，m2＋3m－4）， ∴S△ABP＝ AB·｜yP｜＝5，∴ ｜m2＋3m－4｜＝1， 解得m＝ 或m＝ ， （3）在抛物线L'上是否存在一点P，使得S△ABC＝2S△ABP，若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又当m＝ 时，m2＋3m－4＝2； 当m＝ 时，m2＋3m－4＝－2， ∴P的坐标为（ ，2）或（ ，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. （2024常州天宁模拟）已知二次函数y＝－x2＋m2x和y＝x2－m2（m 是常数）的图像与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点之间的距 离都相等，则这两个函数图像的对称轴之间的距离为（　A　） A. 2 B. m2 C. 4 D. 2m2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. （2024无锡宜兴二模）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列 结论：①abc＞0；②2a＜b；③（a＋c）2＜b2；④a－2b＋4c＜0.其中 正确的是（　A　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. （2024苏州高新区二模）已知抛物线y＝x2＋3x－5与x轴的两个交点 的坐标为（x1，0），（x2，0），则 －3x2＋15＝ ⁠. 13. （2024苏州模拟）若二次函数y＝x2＋x＋a＋3的图像与一次函数y＝ 3x的图像在0≤x≤3的部分有交点，则实数a的取值范围是 ⁠ ⁠. 29　 －6≤a≤－ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. （2024南京建邺一模）已知函数y＝ax2＋（1－a）x－1（a为常数， 且a≠0）. （1）求证：该函数的图像与x轴总有公共点； 解析：（1）证明：∵Δ＝（1－a）2－4a×（－1）＝（1＋a）2≥0， ∴该函数的图像与x轴总有公共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）当a＜－2时，该函数图像与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的 取值范围； 解析：（2）解方程ax2＋（1－a）x－1＝0， 得x1＝1，x2＝－ ， 不妨设A（1，0），B（－ ，0），∴AB＝｜1＋ ｜， ∵a＜－2，∴ ＜AB＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （3）当0≤x≤1时，y≤0，求a的取值范围. 解析：（3）∵x＝1时，y＝0；x＝0时，y＝－1， ∴抛物线一定过点（1，0），（0，－1）， ∵当0≤x≤1时，y≤0， ∴函数y＝ax2＋（1－a）x－1的图像开口向上，即a＞0时， 满足题意，则a＞0； 函数y＝ax2＋（1－a）x－1的图像开口向下，即a＜0时，－ ≥1， 解得－1≤a＜0， ∴当0≤x≤1时，y≤0，则a的取值范围是a＞0或－1≤a＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. （2024无锡新吴一模）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）顶点的 纵坐标为－4，且与x轴交于点A（4，0）.作出该抛物线位于x轴下方的图 像关于x轴对称的图像，位于x轴上方的图像保持不变，就得到y＝｜ax2＋ bx｜的图像，直线y＝kx（k＞0）与y＝｜ax2＋bx｜的图像交于O，B， C三点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：（1）由题意得，抛物线顶点的坐标为（2，－4）， 则抛物线的函数表达式为y＝a（x－2）2－4， 将O（0，0）代入上式，得0＝a（0－2）2－4，解得a＝1， 则抛物线的函数表达式为y＝（x－2）2－4＝x2－4x， ∴b＝－4. （1）求a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）现给出如下新定义：点M（xm，ym）与点N（xn，yn）的“折线距 离”为ρ（M，N）＝｜xm－xn｜＋｜ym－yn｜.已知ρ（O，B）＝ρ （B，C）. ①求k的值； ②以点B为圆心、OB的长为半径的☉B交∠AOC的平分线于点D（异于点 O），交x轴于点E（异于点O），求ρ（D，E）的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：（2）①对于y＝｜x2－4x｜，当0≤x≤4时，y＝－x2＋4x，由 得或 ∴点B（4－k，－k2＋4k）， 同理可得，点C（4＋k，k2＋4k）， ∵ρ（O，B）＝ρ（B，C）， ∴4－k－k2＋4k＝4＋k－4＋k＋k2＋4k＋k2－4k， 解得k＝－1（舍去）或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②由①知，点B的坐标为（ ， ）， ∴直线OB的函数表达式为y＝ x. 在OB上取点M（3，4），则OM＝5， 如图，作MN⊥x轴于点N，交OD于点P，过点P作PT⊥OB于点T， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设PT＝PN＝t，则PM＝4－t，ON＝OT＝3， 则MT＝5－3＝2， 在Rt△PMT中，由勾股定理得MP2＝PT2＋MT2， 即（4－x）2＝x2＋22，解得x＝ ， 则点P的坐标为（3， ）， 由点P的坐标，得直线OD的函数表达式为y＝ x， 设D（m， m），E（p，0），则OB＝BD＝BE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即（ ）2＋（ ）2＝（m－ ）2＋（ m－ ）2＝（p－ ）2＋（ ）2， 解得m＝ 或m＝0（舍去），p＝ 或p＝0（舍去）， ∴点D，E的坐标分别为（ ， ），（ ，0）， ∴ρ（D，E）＝ － ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. （2024宿迁泗洪一模）在二次函数y＝x2－4x＋5中，当0＜x＜3时，y 的取值范围是（　D　） A. 0＜y＜5 B. 1＜y＜5 C. 3＜y＜5 D. 1≤y＜5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$第7节　二次函数的实际应用 1. （2024无锡滨湖二模）在端午节来临之际，某超市购买某种品牌粽子， 每盒进价40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根 据以往销售经验可知，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价 每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售利润为w元. （1）当每盒售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 1 2 3 4 5 6 解析：（1）由题意可得，w＝（x－40）[500－10（x－50）]＝（x－40） （－10x＋1 000）＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10（x－70）2＋9 000， ∵每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ∴解得50≤x≤65. ∵－10＜0， ∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝8 750， 答：当每盒售价定为65元时，日销售利润w最大，最大利润是8 750元. 1 2 3 4 5 6 （2）当日销售利润不低于8 000元时，求x的取值范围. 解析：（2）由－10（x－70）2＋9 000＝8 000，解得x1＝80，x2＝60， 又由（1）知50≤x≤65， ∴x的取值范围为60≤x≤65. 1 2 3 4 5 6 2. （2024常州金坛二模）如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决 定用60 m长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形花园，并用一 道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域. （1）设垂直于墙的篱笆长是x m，花园面积是S m2，写出S关于x的函数表 达式，并求S的最大值； 1 2 3 4 5 6 解析：（1）垂直于墙的篱笆长是x m，则平行于墙的篱笆长为（60－3x）m， 由题意，得S＝x（60－3x）＝－3x2＋60x＝－3（x－10）2＋300， ∵－3＜0，∴当x＝10时，S有最大值，是300， ∴S关于x的函数表达式为S＝－3x2＋60x，S的最大值为300. 1 2 3 4 5 6 （2）在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每 平方米种植2株，若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少 株牡丹？ 解析：（2）设A区域中平行于墙的篱笆长y m， 则B区域中平行于墙的篱笆长（30－y）m， 由题意，得10y≥2×10（30－y），解得y≥20， ∴y的最小值是20， ∴至少要购买10×20×2＝400（株）牡丹. 1 2 3 4 5 6 3. 足球训练中球员在球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物 线.当球飞行的水平距离为6 m时，球到达最高点，此时球离地面3 m.已知 球门OB高为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求抛物线的函数表达式； 解析：（1）根据题意得，抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x－2）2＋3， 把A（8，0）代入，得36a＋3＝0，解得a＝－ ， ∴抛物线的函数表达式为y＝－ （x－2）2＋3. 1 2 3 4 5 6 （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； 解析：（2）当x＝0时，y＝－ ×4＋3＝ ， ∵ ＞2.44，∴球不能射进球门. 1 2 3 4 5 6 （3）已知点C为OB上一点，OC＝2.25 m，若射门路线的形状、最大高度 均保持不变，球员从A处带球沿OA方向移动n m再射门，足球恰好经过OC 区域（含O和C），求n的取值范围.（注：题中的x表示球到球门的水平 距离，y表示球飞行的高度） 解析：（3）由（1）及已知，得球员移动后的射门路线的抛物线的函数表达式为y＝－ （x－2－n）2＋3， 把（0，2.25）代入，得2.25＝－ （0－2－n）2＋3， 解得n1＝－5（舍去），n2＝1， 把（0，0）代入，得0＝－ （0－2－n）2＋3， 解得n1＝－8（舍去），n2＝4， ∵足球恰好经过OC区域（含O和C）， ∴n的取值范围为1≤n≤4. 1 2 3 4 5 6 4. 某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件， 受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件.年 销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图1所示.为提高该产品 竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图2 所示，AB是一条线段，BC是抛物线P＝ x2－4x＋m的一部分. 1 2 3 4 5 6 解析：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b， 把（5，30），（15，10）代入， 得解得 ∴y＝－2x＋40（5≤x≤15）. （1）求y与x之间的函数表达式； 1 2 3 4 5 6 解析：（2）由题意知，当5≤x≤10时，P＝60， ∴W＝（x－5）y－P＝（x－5）（－2x＋40）－60＝－2x2＋50x－260 ＝－2（x－ ）2＋ ， ∵－2＜0，5≤x≤10， ∴当5≤x≤10时，W随x的增大而增大， ∴当x＝10时，W有最大值，最大值为40； 当10≤x≤15时，P＝ x2－4x＋m. 把（10，60）代入P＝ x2－4x＋m， （2）当售价为多少元时，年利润W最大？最大利润是多少万元？ 1 2 3 4 5 6 得60＝ ×102－4×10＋m，解得m＝75， ∴P＝ x2－4x＋75， ∴W＝（x－5）y－P＝（x－5）（－2x＋40）－（ x2－4x＋75）＝－ x2＋54x－275＝－ （x－12）2＋49， ∵－ ＜0，10≤x≤15， ∴当x＝12时，W有最大值，最大值为49. 综上可得，当x＝12时，年利润W最大，最大利润为49万元. 1 2 3 4 5 6 5. （2024扬州广陵二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中 央O处垂直于地面安装一个高为1.25 m的花形柱子OA，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且 在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设 计成水流在距OA的水平距离为1 m时达到最大高度，此时离地面2.25 m. 1 2 3 4 5 6 （1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离 为x m，水流的高度为y m，求出在第一象限内的抛物线的函数表达式（不 要求写出自变量的取值范围）； 解析：（1）根据题意，得第一象限内的抛物线的顶点坐标为（1，2.25）， A（0，1.25）， 设第一象限内的抛物线的函数表达式为y＝a（x－1）2＋2.25， 将A（0，1.25）代入， 得1.25＝a（0－1）2＋2.25，解得a＝－1， ∴第一象限内的抛物线的函数表达式为y＝－（x－1）2＋2.25. 1 2 3 4 5 6 （2）张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76 m的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d m，求d的取 值范围； 解析：（2）对于y＝－（x－1）2＋2.25，令y＝1.76， 得－（x－1）2＋2.25＝1.76，解得x1＝0.3，x2＝1.7， ∵－1＜0，∴当0.3＜x＜1.7时，y＞1.76， ∴d的取值范围为0.3＜d＜1.7. 1 2 3 4 5 6 （3）为了美观，在离花形柱子4 m处的地面B，C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，且OP＝4 m，求抛物线水流到光线的最小距离. 解析：（3）作直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴， y轴于点E，F，过点E作EG⊥PB，垂足为G，如图所示， ∵l∥PB，PB与x轴成45°角， ∴设直线l的函数表达式为y＝－x＋m， 由得x2－3x＋m－1.25＝0， 1 2 3 4 5 6 ∵直线l与抛物线相切， ∴方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（－3）2－4×1×（m－1.25）＝0，解得m＝3.5， ∴直线l的函数表达式为y＝－x＋3.5， 令y＝0，则x＝3.5，∴E（3.5，0）， ∴BE＝4－3.5＝0.5 m，即EB＝ m， 1 2 3 4 5 6 ∵∠EGB＝90°，∴ sin ∠EBG＝ ＝ ， ∴EG＝ × ＝ m， ∴抛物线水流到光线的最小距离为 m. ∵射灯射出的光线与地面成45°角，∴∠EBG＝45°， 1 2 3 4 5 6 6. （2024常州金坛二模）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像 过点（－1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点在第一象限，给出下 列结论：①ab＜0；②4a＋2b＋c＞0；③3a＋c＞0；④若A（x1， y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1＋x2＝2，则y1 ＝y2，其中错误的结论是（　C　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ C 1 2 3 4 5 6 $$