精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年 上学期九年级数学期中模拟卷（4）

苏州市2024-2025学年第一学期初三数学期中模拟卷（4） （范围：九年级第1、3、4、5、8章 时间：120分钟 满分：130分） 一、选择题 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A. B. C. D. 2. 抛物线y＝﹣x2＋3的顶点在（ ） A. x轴上 B. y轴上 C. 第一象限 D. 第二象限 3. 小明根据方差公式分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 众数是 C. 中位数是 D. 4. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 8. 如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是________． 10. 如图，是中边的中线，点E，F，G分别是，，的中点，连接、，现随机向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_________． 11. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为__________ 12. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的方程的解为____________． 13. 如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是__________． 14. 如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是________ 15. 已知抛物线经过点和点，则的最小值是__________． 16. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点D的坐标为______． 三、解答题 17. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生成组为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级人数． 18. 已知二次函数y＝﹣（x＋4）2，将此函数的图像向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度． （1）请写出平移后图像所对应的函数解析式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像； （3）根据所画的函数图像，写出当y＜0时x的取值范围． 19. 某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票. （1）甲选择A检票通道的概率是 ___________; （2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率. 20. 已知抛物线与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求，的值； （2）设是抛物线与轴的交点的横坐标，求的值． 21. 如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． （1）请用含x的代数式表示的长； （2）若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； （3）求小型农场的最大面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点、点，与y轴交于点C，连接，点P在线段上，设点P的横坐标为m． （1）求直线的解析式； （2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 23. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 24. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m． （1）点的坐标是_____，点的坐标是_______； （2）求满足的函数关系； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C， 作直线， 点P 是抛物线上一个动点（点P不与点B，C 重合）， 连接，，以， 为边作平行四边形， 设平行四边形的面积为S，点P的横坐标为m． （1）求抛物线函数解析式； （2）当点P第四象限，且时， 求点 P 坐标． （3）①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏州市2024-2025学年第一学期初三数学期中模拟卷（4） （范围：九年级第1、3、4、5、8章 时间：120分钟 满分：130分） 一、选择题 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意； B、时，是一次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意； D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线y＝﹣x2＋3的顶点在（ ） A. x轴上 B. y轴上 C. 第一象限 D. 第二象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数解析式得出函数定点坐标，即可判断． 【详解】解：抛物线y＝﹣x2＋3的顶点为(0，3)， 在y轴上 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点坐标公式是解决问题的关键． 3. 小明根据方差公式分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 众数是 C. 中位数是 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方差，众数及中位数，根据方差的公式得到平均数为，继而得到，从而得到众数及中位数．掌握方差的计算公式，众数与中位数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，这组数据的平均数为， ∴， 解得：，故结论A正确； ∴这组数据为：、、、、， ∴众数是，故结论B正确； 中位数是，故结论C正确； ∴，故结论D不正确． 故选：D． 4. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案即可． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 5. 点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定了，先求出或，再根据平移规律得出的坐标为或，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点在抛物线上， ， 解得：或， 或， 将抛物线进行平移得抛物线， 平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 的对应点为的坐标为或， 点移动的最短路程为， 故选：C． 6. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键； 根据题意分两种情况讨论，当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解； 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， 的最小值为， ， ， 当时，在，当时，函数有最小值， ， 解得； 综上所述：的值为或， 故选：B 7. 如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、列函数关系式，理解题意，看懂函数图象是解答的关键．先利用勾股定理求得，再分当点D在边上时和当点D在边上时两种情况，利用相似三角形的判定与性质分别求出，，进而求得y与x的函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵，中，，，， ∴， 当点D在边上时，，如图1， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即； 当点D在边上时，，如图， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 当时，，即； ∴， 故选：B． 8. 如图，二次函数图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点睛】本题考查知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题 9. 已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是________． 【答案】21 【解析】 【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列：12、13、19、23、24、27，处于中间位置的两个数是19，23，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（19+23）÷2=21． 故答案为：21． 【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 10. 如图，是中边的中线，点E，F，G分别是，，的中点，连接、，现随机向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】本题考查几何概率，涉及三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各三角形面积之间的关系是解答的关键．先根据三角形的中线性质得到，，再根据三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质得到，进而求得，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵是中边的中线， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵点E，F是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴针尖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 11. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，；时，， ∴当时，函数值y的取值范围为， 故答案为：． 12. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的方程的解为____________． 【答案】或者 【解析】 【分析】根据二次函数与一次函数有交点即可求得两个交点的坐标，进而得出二次函数与一次函数所组成的一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴关于的方程的解为或者． 故答案为：或者． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点，熟练一元二次方程与函数的关系是解题的关键． 13. 如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数求最值，解题的关键是利用割补法表示三角形的面积． 先求出，设，由得到，化简得：，由，得当时，的面积取得最大值为，此时． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为， 联立， 解得：或， ∴ 设 ∵， ∴ 化简得：， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为， 此时， 故答案为：． 14. 如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题及二次函数的平移，能够读懂题意得到原函数的解题关键．先根据二次函数的“有序数集”得到这个二次函数，再通过二次函数的平移得到平移后的二次函数，再转化成“有序数集”即可． 【详解】解：∵一个二次函数的“有序数集”是 ， ∴这个二次函数为， 再将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后， 得到的新函数为， 故新函数对应的“有序数集”为． 故答案为： ． 15. 已知抛物线经过点和点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴时，t有最小值为：． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】取点A关于y轴的对称点E，连接，则，由抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而得到点E坐标，利用勾股定理的逆定理证得，即可得出，由，得出，D、C、E三点共线，利用待定系数法求得直线的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得D的坐标． 【详解】取点A关于y轴的对称点E，连接， 则， 当时，或， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D、C、E三点共线， 设直线解析式为， 则， 解得，， ∴， 联立， 得， 解得，或（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，勾股定理的逆定理判断直角三角形，轴对称性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 三、解答题 17. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生成组为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）7人 （2）85 （3）120人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可； （2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：； （3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， ∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）； 【小问2详解】 解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数， ∵C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数， ∴中位数为：； 【小问3详解】 解：成绩为A等级的人数为：（人）， 答：成绩为A等级的人数为120． 18. 已知二次函数y＝﹣（x＋4）2，将此函数的图像向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度． （1）请写出平移后图像所对应的函数解析式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像； （3）根据所画的函数图像，写出当y＜0时x的取值范围． 【答案】（1）抛物线y＝﹣（x+4）2的顶点坐标是（﹣4，0） （2）见解析 （3）x＞1或x＜﹣3 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标减，向上平移纵坐标加平移后求出顶点坐标，然后写出抛物线解析式即可； （2）把原抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得； （3）根据函数图像即可得． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标是（﹣4，0）， 此函数的图像向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣1，2）， 则平移后抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：平移后的抛物线如图所示： 【小问3详解】 解：由（2）中的图示知，当y＜0时，x＞1或x＜﹣3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图像，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 19. 某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票. （1）甲选择A检票通道的概率是 ___________; （2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为景区检票口有A，B，C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通道的概率是 ； （2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可. 【小问1详解】 解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道， ∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况. ∴P（选择A）=. 故答案为：； 【小问2详解】 由题意列树状图得， 由上图可以看出， 甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况， 其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种， ∴P（甲乙两人选择的通道相同）. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键. 20. 已知抛物线与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求，的值； （2）设是抛物线与轴的交点的横坐标，求的值． 【答案】（1）， （2）2024 【解析】 【分析】（1）把代入解析式，确定点c，根据求值即可； （2）设是抛物线与轴的交点的横坐标，得到m是非常的根，后整理，整体代入求的值． 本题考查了待定系数法计算，方程的根，求代数式的值，熟练掌握待定系数法，方程的根是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， ∴. ∵顶点的横坐标为， ∴， 解得. 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线解析式为， ∵是抛物线与轴的交点的横坐标， ∴，即， ∴ . 21. 如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． （1）请用含x的代数式表示的长； （2）若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； （3）求小型农场的最大面积． 【答案】（1） （2）的长为米 （3）12平方米 【解析】 【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键. （1）根据题意结合图形即可求解； （2）根据矩形的面积公式列方程求解即可； （3）设小型农场面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答. 【小问1详解】 ∵点在线段上， 米， 【小问2详解】 解：∵点在线段上， ，即， ； ∵的面积为平方米， ∴， 解得（舍去），， ∴的长为米； 【小问3详解】 解：设小型农场的面积为， 则， ∵ ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为12平方米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点、点，与y轴交于点C，连接，点P在线段上，设点P的横坐标为m． （1）求直线的解析式； （2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的定义、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先利用待定系数法求得抛物线的解析式，则可确定点C坐标，然后再利用待定系数法求解即可； （2）由题意，，且，设新抛物线的解析式为，根据等腰三角形的定义，分和两种情况，结合已知和两点距离坐标公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将点、点代入中， 得，解得， ∴， 令，则，则， 设直线的表达式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为； 小问2详解】 解：由题意，，且， 设新抛物线的解析式为， ∵点、点， ∴， ， ， 分两种情况： 当时，则， 解得，此时， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴，解得， ∴新抛物线的解析式为； 当时，则， 解得，（点P与点B重合）， ∵以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D， ∴，则，此时， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴，解得， ∴新抛物线的解析式为； 综上，新抛物线解析式为或． 23. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）250件（2）w=（3）当销售单价为45元，最大利润是3750元． 【解析】 【分析】（1）求出最高价，算出比35元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用350件减去少卖的件数，即可得到结论； （2）用含x的式子表示出每件儿童玩具的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以每天的销售量，即可得到解析式； （3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值即可得到结论． 【详解】解：（1）每件的最高价为30×（1+50％）=45（元）， =250（件）， ∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件； （2）w=（x-30）（350-50·）=， ∴w与x的函数关系式w=； （3）w=； =； ∵销售单价不低于35元且销售利润不高于进价的50％， ∴35≤x≤45， ∵a=-10<0， ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴是x=50， ∴当35≤x≤45时，w随x的增大而增大， ∴当x=45时，w有最大值，w的最大值为3750， ∴当销售单价为45元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，明确题意找到函数关系式是解题的关键． 24. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m． （1）点的坐标是_____，点的坐标是_______； （2）求满足的函数关系； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1），落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点、的坐标； （2）用待定系数法求解即可； （3）由，先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线于点、，用含未知数的式子表示，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【小问1详解】 解：，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m， ，； 【小问2详解】 解：把，代入 得，， 解得，， ； 【小问3详解】 解：， 设直线的表达式为， 把代入，得， 解得，， ， 设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、， ， ， 当时，最大，即水平距离为时，运动员与着陆坡竖直方向上的距离达到最大． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C， 作直线， 点P 是抛物线上一个动点（点P不与点B，C 重合）， 连接，，以， 为边作平行四边形， 设平行四边形的面积为S，点P的横坐标为m． （1）求抛物线函数解析式； （2）当点P在第四象限，且时， 求点 P 坐标． （3）①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2）或 （3）① ②当时，点P的个数有两个；当时，点P的个数有三个；当时，点P的个数有四个 【解析】 【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式； （2）作轴交直线于，如图， 利用待定系数法求出直线的解析式为设 则，然后求出长，根据求出，代入数值即可解方程求得点P的坐标； （3）根据（2）得到时的解析式，当或时， 如图， 同理可得 ； （4）画出关于x的函数图象，然后根据函数的图象分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 则； 【小问2详解】 作轴交直线于， 如图， 设直线的解析式为， 把代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 ， 设，则， 当时， 如图，， ， ∵， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 ①由（2）得当时，； 当 或时， 如图， ， ∴； 综上所述：； ②当时， ， 关于x的函数图象如图所示， ∴当时，点P的个数有两个； 当时，点P的个数有三个； 当时，点P的个数有四个． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质； 会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式； 理解坐标与图形的性质； 会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$